Titelaufnahme

Titel
Optimal transport on the n-Sphere / Florian Besau
VerfasserBesau, Florian
Begutachter / BegutachterinSchuster, Franz
Erschienen2012
UmfangIII, 101 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2012
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)konvexe Funktionen / Legendre Transformation / Monge Problem / Kantorovich Problem / optimaler Transport / Kantorovich Dualität
Schlagwörter (EN)convex function / legendre transform / Monge Problem / Kantorovich Problem / optimal transport / Kantorovich Duality
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-51964 Persistent Identifier (URN)
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Optimal transport on the n-Sphere [0.94 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Diplomarbeit werden Resultate über Probleme des optimalen Transports von Maßen, insbesondere auf der Euklidischen n-Sphäre, eingehend und so explizit wie möglich dargestellt. In einem Einführungskapitel wird die Theorie konvexer Funktionen präsentiert und vor allem die durch die Legendre Transformation vermittelte duale Korrespondenz zwischen konvexen Funktionen und ihrer Konjugierten ausführlich aufgearbeitet. Es wird das Problem des optimalen Transports sowohl nach Monge als auch nach Kantorovich formuliert und der wichtige Kantorovisch'sche Dualitätssatz bewiesen. Weiters wird das Problem des optimalen Transports auf der reellen Zahlengeraden explizit gelöst und diese Resultate genutzt um das Problem des optimalen Transports auf dem Einheitskreis explizit zu lösen. Das Hauptresultat dieser Diplomarbeit ist die Lösung des optimalen Transports auf der n-Sphäre nach McCann.

Für den Beweis wird der Differentialkalkül auf der n-Sphäre sowie eine Version des Rademacher'schen Satzes aufgearbeitet.

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis I study problems of optimal transport of measures, in particular on the euclidean n-sphere, thoroughly and as explicit as possible. In an introductory chapter I present the theory of convex functions and in particular the dual correspondence of convex functions and their conjugates by means of the Legendre transformation.

I formulate the Monge as well as the Kantorovich version of the optimal transport problem and prove the important Kantorovich Duality.

Furthermore, I solve the optimal Transport Problem explicitly on the real line and use this result to solve the optimal transport problem on the unit circle explicitly. The main theorem of this thesis is the solution of the optimal transport problem on the n-sphere by McCann. To prove this, I introduce differential calculus on the n-sphere as well as a version of Rademachers Theorem.