Titelaufnahme

Titel
Arakelov geometry with a view towards integral points / von Claudia Isabella Scheimbauer
VerfasserScheimbauer, Claudia Isabella
Begutachter / BegutachterinDrmota, Michael
Erschienen2009
UmfangVIII, 130 S. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2009
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Arakelovgeometrie / Hermitesche Vektorbündel / Arakelovgrad / ganzzahlige Punkte
Schlagwörter (EN)Arakelov geometry / Hermitian vector bundles / Arakelov degree / integral points
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-37547 Persistent Identifier (URN)
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Arakelov geometry with a view towards integral points [1.25 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Diplomarbeit behandelt Grundlagen der Arakelovtheorie und beschreibt weiters eine mögliche Anwendung dieser auf das Problem, ganze Punkte auf elliptischen Kurven zu bestimmen. Zuerst stellen wir die benötigen Begriffe und deren Zusammenhängen der Algebraischen Geometrie vor. Wir definieren Hermitesche Vektorbündel, die Objekte, die in der Arakelovgeometrie untersucht werden. Wir führen den Arakelovgrad eines Hermiteschen Vektorbündels, Höhen im projektiven Raum, und kanonische Polygone ein. Als Beispiel berechnen den Grad und das kanonische Polygon von Serres Twistinggarbe über dem projektiven Raum, versehen mit der Fubini-Study metric. Einem Paper von Bost, Gillet und Soulé folgend berechnen wir die Höhe vom projektiven Raum. Weiters geben wir einen Ausblick auf eine geometrischere Interpretation von Hermiteschen Vektorbündeln. Eine Brücke zu elliptischen Kurven schlagend betrachten wir die mit einer elliptische Kurve assoziierte arithmetische Fläche und definieren eine Norm auf einem gegebenen Vektorbündel auf der elliptische Kurve. Schließlich werfen wir einen Blick auf ganzzahlige Punkte auf elliptischen Kurven. Wir definieren diese und geben einen historischen Überblick über die Resultate in diesem Zusammenhang. Dann besprechen wir eine moderne Definition eines ganzzahligen Punktes auf einer elliptischen Kurve und stellen eine Idee, die Methoden der Arakelovgeometrie auf das Problem, eine effektive Schranke für die Höhen der endlich vielen ganzzahligen Punkte auf einer elliptischen Kurve zu finden, zu verwenden, vor.

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis, we give an introduction to Arakelov geometry and discuss a possible application to the problem of determining the integral points on an elliptic curve. We first introduce the required notions from algebraic geometry and connections between them. We define the main objects of study in Arakelov geometry, Hermitian vector bundles, and discuss the Arakelov degree, heights, and canonical polygons. As an example, we compute the Arakelov degree and the canonical polygon of the twisting sheaf of Serre endowed with the Fubini-Study metric. Following Bost, Gillet, and Soulé, we also compute the height of projective space. Furthermore, an outlook on a more geometric interpretation of Hermitian vector bundles is given. To build a bridge to elliptic curves, we consider the arithmetic surface attached to a given elliptic curve and define a Hermitian norm on a given vector bundle on this curve. Finally, we take a look at integral points on elliptic curves. After discussing the notion of an integral point on a curve and giving a historical overview of the existing results in this context, we present a modern notion of an integral point on a curve and present an idea of applying Arakelov geometry to the problem of finding an effective bound for the heights of the finitely many integral points on an elliptic curve.