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<div class="csl-entry">Scheimbauer, C. I. (2009). <i>Arakelov geometry with a view towards integral points</i> [Diploma Thesis, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-37547</div>
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Diese Diplomarbeit behandelt Grundlagen der Arakelovtheorie und beschreibt weiters eine mögliche Anwendung dieser auf das Problem, ganze Punkte auf elliptischen Kurven zu bestimmen. Zuerst stellen wir die benötigen Begriffe und deren Zusammenhängen der Algebraischen Geometrie vor. Wir definieren Hermitesche Vektorbündel, die Objekte, die in der Arakelovgeometrie untersucht werden. Wir führen den Arakelovgrad eines Hermiteschen Vektorbündels, Höhen im projektiven Raum, und kanonische Polygone ein. Als Beispiel berechnen den Grad und das kanonische Polygon von Serres Twistinggarbe über dem projektiven Raum, versehen mit der Fubini-Study metric. Einem Paper von Bost, Gillet und Soulé folgend berechnen wir die Höhe vom projektiven Raum. Weiters geben wir einen Ausblick auf eine geometrischere Interpretation von Hermiteschen Vektorbündeln. Eine Brücke zu elliptischen Kurven schlagend betrachten wir die mit einer elliptische Kurve assoziierte arithmetische Fläche und definieren eine Norm auf einem gegebenen Vektorbündel auf der elliptische Kurve. Schließlich werfen wir einen Blick auf ganzzahlige Punkte auf elliptischen Kurven. Wir definieren diese und geben einen historischen Überblick über die Resultate in diesem Zusammenhang. Dann besprechen wir eine moderne Definition eines ganzzahligen Punktes auf einer elliptischen Kurve und stellen eine Idee, die Methoden der Arakelovgeometrie auf das Problem, eine effektive Schranke für die Höhen der endlich vielen ganzzahligen Punkte auf einer elliptischen Kurve zu finden, zu verwenden, vor.<br />
de
dc.description.abstract
In this thesis, we give an introduction to Arakelov geometry and discuss a possible application to the problem of determining the integral points on an elliptic curve. We first introduce the required notions from algebraic geometry and connections between them. We define the main objects of study in Arakelov geometry, Hermitian vector bundles, and discuss the Arakelov degree, heights, and canonical polygons. As an example, we compute the Arakelov degree and the canonical polygon of the twisting sheaf of Serre endowed with the Fubini-Study metric. Following Bost, Gillet, and Soulé, we also compute the height of projective space. Furthermore, an outlook on a more geometric interpretation of Hermitian vector bundles is given. To build a bridge to elliptic curves, we consider the arithmetic surface attached to a given elliptic curve and define a Hermitian norm on a given vector bundle on this curve. Finally, we take a look at integral points on elliptic curves. After discussing the notion of an integral point on a curve and giving a historical overview of the existing results in this context, we present a modern notion of an integral point on a curve and present an idea of applying Arakelov geometry to the problem of finding an effective bound for the heights of the finitely many integral points on an elliptic curve.
en
dc.language
English
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dc.language.iso
en
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dc.rights.uri
http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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dc.subject
Arakelovgeometrie
de
dc.subject
Hermitesche Vektorbündel
de
dc.subject
Arakelovgrad
de
dc.subject
ganzzahlige Punkte
de
dc.subject
Arakelov geometry
en
dc.subject
Hermitian vector bundles
en
dc.subject
Arakelov degree
en
dc.subject
integral points
en
dc.title
Arakelov geometry with a view towards integral points
en
dc.type
Thesis
en
dc.type
Hochschulschrift
de
dc.rights.license
In Copyright
en
dc.rights.license
Urheberrechtsschutz
de
dc.contributor.affiliation
TU Wien, Österreich
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dc.rights.holder
Claudia Isabella Scheimbauer
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tuw.version
vor
-
tuw.thesisinformation
Technische Universität Wien
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tuw.publication.orgunit
E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie