Esterhazy, S. (2013). High-order finite element analysis of the Helmholtz equation and its application in laser physics [Dissertation, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://doi.org/10.34726/hss.2013.21671
Diese Dissertation verbindet Methoden der Grundlagenforschung in der Mathematik mit der anwendungsorientierten Forschung auf dem Gebiet der Laserphysik. Dementsprechend ist diese Arbeit in zwei Teile gegliedert. Im Mittelpunkt steht die numerische Analyse der Helmholtz-Gleichung mit ausstrahlenden Randbedingungen, die für die Modellierung von Phänomenen wie akustische oder elektromagnetische stehende Wellen im freien Raum verwendet wird. Als geeignetes Verfahren zur numerischen Berechnungen und Simulation dieses Problems wird hier die Finite-Elemente-Methode (FEM) eingesetzt. Dieses Verfahren leidet jedoch bei hohen Wellenzahlen unter numerischer Dispersionsfehlern. Im Rahmen der mathematischen Grundlagenforschung liegt daher ein besonderer Augenmerk auf der expliziten Abhängigkeit der Konvergenz hinsichtlich der Wellenzahl sowie der Diskretisierungsparameter. Grundlegende Untersuchungen über Regularitätseigenschaften, geometrische Aspekte sowie eine Konvergenz-Analyse in Bezug auf unterschiedliche Normen werden daher im Detail im ersten Teil beschrieben. Darüber hinaus wird die numerische Untersuchung erweitert auf das Gebiet der Laserphysik. Während Laserlicht eine Form von räumlich und zeitlich kohärenten, elektromagnetischen Wellen darstellt, müssen jedoch zusätzliche Effekte, die von der Interaktion mit dem Verstärkungsmaterial kommen, berücksichtigt werden. Die wesentlichen Merkmale eines Lasers werden somit durch ein gekoppeltes System nichtlinearer Helmholtz-Gleichung beschrieben. Hier lag der Fokus darauf eine effiziente und flexible Lösungsmethode zu finden, um eine breite Palette von experimentellen Anwendungen simulieren zu können. Zu diesem Zweck wurde die Finite-Elemente-Methode erneut für die Diskretisierung verwendet.
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This thesis forms a bridge between basic research in mathematics and applied research in the field of laser physics, structured accordingly in two parts. The central focus is the numerical analysis of the Helmholtz equation with radiating boundary condition which is used for modeling of phenomena such as acoustic or electromagnetic standing waves in free space. As a convenient method for the numerical calculations and simulation of this problem, the finite elements method (FEM) is used. This method suffers, however, from numerical dispersion error when increasing the wave number. The explicit dependence on the wave number and the discretization parameters is therefore under a particular focus in the context of basic research. Basic investigations concerning regularity properties, geometric aspects, as well as a convergence analysis with respect to different norms are therefore discussed in detail in the first part. In addition to that, the numerical study is extended/applied to the field of laser physics. While laser light constitutes a form of spatially and temporally coherent electromagnetic waves, major effects coming from the interaction with gain material, however, have to be taken into account. The significant characteristics of a laser are thus described by a coupled system of nonlinear Helmholtz-type equations. Here, the focus was to find an efficient and flexible solution method in order to be able to simulate a wide range of experimental applications. To this end, the finite element method has again been used for the discretization.
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