Simulation of tunneling in semiconductor devices

Abstract

Microelectronics has reached a point where quantum effects have a major impact on the electrical characteristics of semiconductor devices. One of the most important effects in this regime is the quantum-mechanical tunneling of carriers through thin dielectric layers. On the one hand, this leads to increased power consumption and thus limits the thickness of the gate dielectric. On the other hand, tunneling effects are used in non-volatile memory devices to transfer charge to an isolated floating gate. The tunneling current is caused by the transition of carriers from one electrode through a classically isolating region to another electrode. Three major factors influence this process: the carrier energy distribution at both electrodes, the quantum-mechanical transmission coefficient of the energy barrier between the electrodes, and the presence of traps in the insulating layer which may assist in the tunneling process. The carrier energy distribution is of major importance for the tunneling process. The Fermi-Dirac or Maxwell-Boltzmann distribution is frequently used to approximate this distribution. These expressions are, however, only valid near equilibrium and fail to describe the distribution of hot carriers. In this work an alternative expression for the distribution function, which is based on the carrier concentration, temperature, and kurtosis, was applied. This distribution shows good agreement with results from Monte Carlo simulations and accurately reproduces the high-energy tail of the distribution. The heated Maxwellian distribution, which only accounts for the electron concentration and temperature, completely fails to reproduce the high-energy tail and highly overestimates the tunneling current density. The quantum-mechanical transmission coefficient is calculated by solving the stationary Schroedinger equation in the region considered for tunneling. The coefficient depends on the shape of the energy barrier in the dielectric layer. Dielectrics which consist of a single layer give rise to a linear potential variation in the barrier, yielding either a trapezoidal or a triangular band diagram. Analytical models can be derived to approximately calculate the transmission coefficient in these cases, based on the WKB approximation or on Gundlach's formula. With reduced device dimensions, however, the gate dielectric in MOS devices must be scaled accordingly which, for the commonly used material \SiO, leads to an intolerably high gate current density. To overcome this problem, gate dielectric stacks including high-k dielectrics have been proposed. In such dielectric stacks the band profile has a non-linear shape, and models based on triangular or trapezoidal barriers are no more valid. Instead, Schroedinger's equation must be solved using the transfer-matrix or the quantum transmitting boundary method. These methods have been studied and the quantum transmitting boundary method was found superior due to its better numerical stability and the possibility to apply it to two- and three-dimensional problems. Non-volatile memory devices need to endure up to 10^5 write and erase cycles at a voltage of 8-12V. This repeated high-field stress introduces defects in the tunneling dielectric, which give rise to trap-assisted tunneling current at low electric fields. That trap generation is considered a major reason for device degradation. In this work trap-assisted tunneling is modeled as a two-step process during which energy relaxation by phonon emission takes place. The trap occupancy in the dielectric is described by a time-dependent rate equation. To solve this equation, an iterative procedure is applied. Models to describe the outlined processes have been implemented into the general-purpose device simulator Minimos-NT. Several applications are investigated, where a distinction between MOS transistors and non-volatile memory devices is made. The applicability of alternative dielectric materials is investigated and, as an example, a MOS capacitor with a ZrO2 dielectric is simulated and compared with measurements. Non-volatile memory devices such as conventional EEPROM devices, trap-rich dielectric devices, multi-barrier tunneling devices, and devices which use layered tunnel barriers to improve the retention time are investigated. With the implemented models, Minimos-NT can be used for the evaluation of tunneling currents in device structures of arbitrary complexity.

Die Mikroelektronik hat einen Punkt erreicht, an dem quantenmechanische Effekte einen wesentlichen Einfluss auf die elektrischen Eigenschaften von Halbleiterbauelementen haben. Einer der wichtigsten dieser Effekte ist das quantenmechanische Tunneln von Ladungsträgern durch Schichten düunner Dielektrika. Einerseits führt dies zu einem erh\öten Leistungsverbrauch von Halbleiterbauelementen und limitiert dadurch die Dicke des Gatedielektrikums. Andererseits werden Tunneleffekte in nichtflüchtigen Speicherbauelementen verwendet um Ladung auf einen isolierten Speicherknoten zu transferieren. Der Tunneleffekt basiert auf dem übergang von Ladungsträgern von einer Elektrode durch eine klassisch isolierende Region auf eine andere Elektrode. Dieser Prozess wird durch drei Faktoren beeinflusst: Der energetischen Verteilung der Ladungsträger in beiden Elektroden, dem quantenmechanischen Transmissionskoeffizienten der Energiebarriere, und vorhandenen Störstellen im Dielektrikum die den Tunnelprozess beeinflussen. Die energetische Verteilung der Ladungsträger in den Elektroden ist von fundamentaler Bedeutung für den Tunnelstrom. Üblicherweise wird eine Fermi-Dirac oder Maxwell-Boltzmann Verteilung angenommen. Diese Verteilungsfunktionen sind jedoch nur nahe des Gleichgewichtszustands gültig und scheitern bei der Beschreibung des Verhaltens heisser Ladungsträger. In dieser Arbeit wird eine neue Verteilungsfunktion verwendet, die auf der Konzentration, Temperatur, und Kurtosis der Ladungsträger basiert. Diese Verteilungsfunktion zeigt gute Übereinstimmung mit den Ergebnissen von Monte Carlo Simulationen und reproduziert die Verteilung der hochenergetischen Ladungsträger mit hoher Genauigkeit. Die heisse Maxwell Verteilung, die nur auf der Konzentration und Temperatur der Ladungsträger basiert, kann die Verteilung der hochenergetischen Ladungsträger nicht reproduzieren und führt zu einer stark überhöhten Tunnelstromdichte. Der quantenmechanische Transmissionskoeffizient wird durch Lösung der Schrödinger-Gleichung bestimmt und hängt von der Form der Energiebarriere im Dielektrikum ab. Dielektrika die aus einer einzigen Schicht bestehen zeigen eine lineare Potentialvariation in der Barriere die zu einem entweder dreieckigen oder trapezförmigen Banddiagramm führt. Für diesen Fall können analytische Modelle zur Berechnung des Transmissionskoeffizienten hergeleitet werden die auf der Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung oder der Gundlach-Formel beruhen. Der stetige Miniaturisierungsprozess elektronischer Bauelemente führt jedoch zu einer entsprechenden Reduzierung der Dicke der Gatedielektrika in MOS Bauelementen, was für das fast ausschliesslich verwendete Material SiO2 zu unzulässig hohen Leckströmen führt. Als Abhilfe wurden geschichtete Dielektrika aus Materialien mit höheren Dielektrizitätskonstanten vorgeschlagen. In derartigen geschichteten Dielektrika hat das Banddiagramm einen nichtlinearen Verlauf und Modelle, die auf einer dreieckigen oder trapezf\"ormigen Energiebarriere basieren, sind nicht mehr gültig. Stattdessen muss die Schrödinger-Gleichung mit Hilfe der Transfer-Matrix oder der Quantum Transmitting Boundary Methode gelöst werden. Diese Methoden wurden untersucht, wobei sich die Quantum Transmitting Boundary Methode auf Grund der höheren numerischen Stabilität und der Eignung für mehrdimensionale Probleme als vorteilhaft herausgestellt hat. Nichtflüchtige Speicherbauelemente müssen bis zu 10^5 Schreib- und Löschvorgänge bei Spannungen in der Höhe von 8--12 V fehlerfrei ausführen. Diese wiederholte Belastung des Dielektrikums führt zur Bildung von Defekten, die störstellenunterstütztes Tunneln bei niedrigen Feldstärken ermöglichen. Diese Generation von Störstellen wird als einer der Hauptgründe für die Verschlechterung der Isolationseigenschaften des Dielektrikums angesehen. Störstellenunterstütztes Tunneln wird in dieser Arbeit als zweistufiger Prozess modelliert, bei dem Energie durch die Emission von Phononen frei wird. Die Besetzungsdichte der Defekte wird durch eine Ratengleichung beschrieben. Um diese Geichung zu lösen wird ein iteratives Modell verwendet. Die beschriebenen Modelle wurden in den Bauelementsimulator Minimos-NT implementiert. Zahlreiche Anwendungen wurden untersucht, wobei eine Unterscheidung zwischen MOS Transistoren und nichtflüchtigen Speicherbauelementen gemacht wurde. Die Anwendbarkeit alternativer Dielektrika wurde untersucht und an Hand eines MOS Kondensators mit ZrO2 Dielektrikum mit Messungen verglichen. Weiters wurden nichtflüchtige Speicherbauelemente wie EEPROMs und alternative Strukturen untersucht. Mit Hilfe der implementierten Modelle kann Minimos-NT für die Modellierung des Tunnelstroms in beliebigen Halbleiterbauelementen verwendet werden.