Convergence of the collocation schemes for systems of nonlinear ODEs with a time singularity in the right-hand side

Abstract

Wir betrachten die Konvergenz der Kollokationsmethode zur Lösung von Systemen von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit variabler Koeffizientenmatrix und einer Zeitsingularität auf der rechten Seite von der Form x'(t)=1/t*M(t)x(t) + 1/t*f(t,x(t)), t in (0,1], g(x(0),x(1))=0. Die Kollokationsmethode wird angewandt und auftretende Konvergenz oder Superkonvergenz beobachtet. Die betrachteten Differentialgleichungen weisen unterschiedliche Eigenschaften in Bezug auf die Existenz einer bekannten Lösung, der Glattheit der Inhomogenität sowie der Erfüllung diverser analytischer Voraussetzungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung auf. Die Resultate werden mit Rücksicht auf die Konvergenztheorie für den linearen Fall interpretiert.

This thesis deals with the convergence of the collocation method applied to solve systems of nonlinear ordinary differential equations with variable coeffcient matrices and a time singularity in the right-hand side, x'(t)=1/t*M(t)x(t) + 1/t*f(t,x(t)), t in (0,1], g(x(0),x(1))=0. An experimental approach is taken by applying the collocation method and observing occurring convergence or superconvergence. The considered differential equations show different properties concerning the existence of a known solution, the smoothness of the inhomogenity, and the question if analytical conditions for the existence and uniqueness of solutions are satisfied. The results of the numerical simulations are interpreted in light of the convergence theory for the linear case.