Optimal adaptivity for splines in finite and boundary element methods

Abstract

Seit der Einführung der isogeometrischen Analysis (IGA) im Jahr 2005 sind die Finite-Element-Methode (FEM) und die Randelementmethode (BEM, engl. boundary element method) mit Splines zu einem aktiven Forschungsfeld geworden. Die zentrale Idee von IGA ist es, die gleichen Funktionen zur Approximation der Lösung der betrachteten partiellen Differentialgleichung (PDE, engl. partial differential equation) zu verwenden, die auch für die Darstellung der Problemgeometrie in Computer Aided Design (CAD) genutzt werden. Normalerweise basiert CAD auf Tensorprodukt-Splines. Um adaptive Verfeinerung zuzulassen, wurden einige Erweiterungen von diesen entwickelt, z.B. hierarchische Splines, T-Splines oder LR-Splines. Im Hinblick auf Geometrie induzierte Singularitäten und der Tatsache, dass isogeometrische Methoden Ansatzfunktionen mit hoher Ordnung verwenden, ist der Gewinn durch adaptive Verfeinerung (bzw. Verlust bei uniformer Verfeinerung) gewaltig. In dieser Arbeit betrachten wir zuerst eine adaptive FEM mit hierarchischen Splines von beliebigem Grad für lineare elliptische PDE-Systeme zweiter Ordnung mit Dirichlet-Randbedingung in $\mathbb{R} d$ für $d\ge 2$. Wir nehmen an, dass die Problemgeometrie über dem $d$-dimensionalen Einheitswürfel parametrisiert werden kann. Wir stellen eine Verfeinerungsstrategie vor, um eine Folge lokal verfeinerter Gitter und diskreter Lösungen zu erzeugen. Adaptivität wird hierbei von einem gewichteten a posteriori Residualfehlerschätzer gesteuert. Wir beweisen lineare Konvergenz des Fehlerschätzers (bzw. der Summe aus Fehler und Datenoszillationen) mit optimaler algebraischer Rate. Danach betrachten wir eine adaptive Randelementmethode mit hierarchischen Splines von beliebigem Grad für schwach-singuläre Integralgleichungen erster Art, die bei der Lösung von linearen elliptischen PDE-Systemen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und Dirichlet-Randbedingung auftreten. Wir nehmen an, dass der Geometrierand die Vereinigung von Oberflächen ist, die über dem $(d-1)$-dimensionalen Einheitswürfel parametrisiert werden können. Erneut stellen wir eine Verfeinerungsstrategie vor, um eine Folge lokal verfeinerter Gitter und diskreter Lösungen zu erzeugen, wobei Adaptivität durch einen gewichteten a posteriori Residualfehlerschätzer gesteuert wird. Wir beweisen lineare Konvergenz des Fehlerschätzers mit optimaler algebraischer Rate. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten, welche auf das Laplace-Modellproblem beschränkt sind, lässt unsere Analysis beliebige elliptische PDE-Systeme zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu. Schließlich untersuchen wir für eindimensionale Ränder eine adaptive BEM mit Standardsplines statt hierarchischen Splines. Wir modifizieren den entsprechenden Algorithmus so, dass er zusätzlich die lokale Glattheit der Ansatzfunktionen steuert. Erneut beweisen wir lineare Konvergenz des Fehlerschätzers mit optimaler algebraischer Rate. Um die genannten Resultate zu beweisen, entwickeln wir einen abstrakten Rahmen für adaptive konforme FEM und BEM. Insbesondere könnte dieser Rahmen auch für IGA mit T-Splines oder LR-Splines genutzt werden. Durchwegs belegen wir unsere theoretischen Ergebnisse mit numerischen Beispielen.

Since the advent of isogeometric analysis (IGA) in 2005, the finite element method (FEM) and the boundary element method (BEM) with splines have become an active field of research. The central idea of IGA is to use the same functions for the approximation of the solution of the considered partial differential equation (PDE) as for the representation of the problem geometry in computer aided design (CAD). Usually, CAD is based on tensor-product splines. To allow for adaptive refinement, several extensions of these have emerged, e.g., hierarchical splines, T-splines, and LR-splines. In view of geometry induced generic singularities and the fact that isogeometric methods employ higher-order ansatz functions, the gain of adaptive refinement (resp. loss for uniform refinement) is huge. In this work, we first consider an adaptive FEM with hierarchical splines of arbitrary degree for linear elliptic PDE systems of second order with Dirichlet boundary condition in $\mathbb{R} d$ for $d\ge 2$. We assume that the problem geometry can be parametrized over the $d$-dimensional unit cube. We propose a refinement strategy to generate a sequence of locally refined meshes and corresponding discrete solutions. Adaptivity is driven by some weighted-residual a posteriori error estimator. We prove linear convergence of the error estimator (resp. the sum of error plus data oscillations) with optimal algebraic rate. Next, we consider an adaptive BEM with hierarchical splines of arbitrary degree for weakly-singular integral equations of the first kind that arise from the solution of linear elliptic PDE systems of second order with constant coefficients and Dirichlet boundary condition. We assume that the boundary of the geometry is the union of surfaces that can be parametrized over the $(d-1)$-dimensional unit cube. Again, we propose a refinement strategy to generate a sequence of locally refined meshes and corresponding discrete solutions, where adaptivity is driven by some weighted-residual a posteriori error estimator. We prove linear convergence of the error estimator with optimal algebraic rate. In contrast to prior works, which are restricted to the Laplace model problem, our analysis allows for arbitrary elliptic PDE operators of second order with constant coefficients. Finally, for one-dimensional boundaries, we investigate an adaptive BEM with standard splines instead of hierarchical splines. We modify the corresponding algorithm so that it additionally uses knot multiplicity increase which results in local smoothness reduction of the ansatz space. Again, we prove linear convergence of the employed weighted-residual error estimator with optimal algebraic rate. In order to prove all these results, we provide an abstract framework for adaptive conforming FEM and BEM. In particular, this framework might also be applicable to IGA with T-splines or LR-splines. Throughout, we provide numerical evidence for our theoretical findings.