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Title
Geometric analysis of multi-scale solutions in regularized models of microstructures and touchdown phenomena in MEMS / von Annalisa Iuorio
Additional Titles
Geometrische Analysis von Mehrskalenlösungen in regularisierten Modellen für Mikrostrukturen und Touchdown Phänomenen in MEMS
AuthorIuorio, Annalisa
CensorSzmolyan, Peter
PublishedWien, 2018
DescriptionSeite D-I, ii, 115 Blätter : Diagramme
Institutional NoteTechnische Universität Wien, Dissertation, 2018
Annotation
Zusammenfassung in deutscher Sprache
Annotation
Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
LanguageEnglish
Document typeDissertation (PhD)
Keywords (DE)Singuläre Störungen / schnell-langsame dynamische Systeme / geometrische singuläre Störungstheorie / blow-up Methode / Verzweigungen / Mikrostrukturen / MEMS
Keywords (EN)Singular perturbations / slow-fast dynamical systems / geometric singular perturbation theory / blow-up method / bifurcations / microstructures / MEMS
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-107071 Persistent Identifier (URN)
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Geometric analysis of multi-scale solutions in regularized models of microstructures and touchdown phenomena in MEMS [2.32 mb]
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Abstract (German)

Die Analysis qualitativer Eigenschaften von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) durch Methoden aus der Theorie dynamischer Systeme ist ein aktives Forschungsgebiet. Ein wichtiges Thema dabei ist die Analyse der Existenz, Stabilität und Verzweigung von speziellen Lösungen, die wesentliche Merkmale der zu untersuchenden PDE enthalten. Insbesondere für PDEs mit singulären Störungen oder Singularitäten hat sich dabei eine Kombination aus Methoden aus der Theorie dynamischer Systeme, Methoden der singulären Störungstheorie und numerischen Berechnungen als sehr effektiv erwiesen. Dieses Projekt befasst sich mit zwei Problemen dieser Art, die neuartige Multiskalenmerkmale aufweisen. Im ersten Problem untersuchen wir die Euler-Lagrange-Gleichung der Regularisierung eines nichtkonvexen Variationsproblems, das als einfaches mathematisches Modell für Mikrostrukturen in Formgedächtnislegierungen auftritt. Für dieses singulär gestörte Hamiltonsche System beweisen wir die Existenz einer Klasse von periodischen Lösungen und untersuchen ihre Abhängigkeit von den wesentlichen Parametern durch asymptotische Methoden und numerische Fortsetzung. Das Ziel ist ein besseres Verständnis der Struktur von minimierenden Lösungen und ihres ungewöhnlichen Skalierungsverhaltens. Mittels numerischer Pfadverfolgung werden zusätzlich neue Typen von Lösungen gefunden. Das zweite Problem betrifft die Asymptotik und Verzweigung von stationären Lösungen eines Modells für mikroelektromechanische Systeme (MEMS). Dieses Modell wurde kürzlich als Regularisierung eines einfacheren Modells vorgeschlagen, von dem bekannt ist, dass es in endlicher Zeit Singularitäten entwickelt. Für dieses Problem wird das numerisch berechnete Verzweigungsdiagramm erklärt, indem die Interaktion des Regularisierungsterms mit der für das Touchdown-Phänomen verantwortlichen Singularität im Detail untersucht wird. Dabei wird die Blow-up-Methode verwendet, um die Dynamik in der Nähe der Singularität zu analysieren und rigorose Ergebnisse zu erhalten, welche die bereits existierende formale Asymptotik und Numerik beweisen und ergänzen. Ein zentraler aspekt dabei ist die Untersuchung einer speziellen Sattel-Knoten Verzweigung, deren numerische Untersuchung aufgrund ihres singulären Charakters sehr schwierig ist. Diese neuartige Erweiterung der Blow-up-Methode zur Analyse von Randwertproblemen und singulären Grenzenwerten in Verzweigungsproblemen hat das Potential auch in anderen Zusammenhängen von Nutzen zu sein.

Abstract (English)

The analysis of qualitative properties of nonlinear PDEs by dynamical systems methods is an active area of research. A major issue is the analysis of the existence, stability and bifurcation of special solutions which capture crucial features of the PDE. In particular for PDEs involving singular perturbations or singularities a combination of dynamical systems methods, singular perturbation methods and numerical computation has proven to be very effective. This project is concerned with two problems of this kind exhibiting novel multi-scale features. In the first problem we study the Euler-Lagrange equation of the regularization of a non-convex variational problem arising as a toy model for microstructures in shape memory alloys. For this singularly perturbed Hamiltonian system we prove the existence of a class of periodic solutions and study their dependence on the main parameters by asymptotic methods and numerical continuation. The goal is to obtain a better understanding of the structure of minimizers and their unusual scaling behavior. Novel solutions via numerical path following are also discovered. The second problem is concerned with the asymptotics and bifurcations of steady state solutions of a model for Micro-Electro Mechanical Systems (MEMS). This model has recently been proposed as a regularization of a more basic model, that is known to develop singularities in finite time. We analyze the structure of steady state solutions close to touchdown and their bifurcation diagram as the regularization parameter tends to zero. By means of geometric singular perturbation theory and blow-up techniques, we give a rigorous analysis of the bifurcation curve and its singular limit. The numerically computed bifurcation diagrams is explained by resolving the interaction of the regularizing term with the main singularity leading to the touchdown phenomenon. In particular, we use the blow-up method to analyze the dynamics in proximity of the singularity and obtain rigorous results complementing existing formal asymptotics and numerics. An important part of the analysis deals with a special saddle-node bifurcation point which, due to its singular nature, is very hard to obtain even numerically. This novel extension of the blow-up method to the analysis of boundary value problems and singular limits in bifurcation diagrams is expected to be useful in other contexts as well.

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