Titelaufnahme

Titel
The Cramér-Lundberg ruin model with a high dividend barrier / Martin Pleischl
VerfasserPleischl, Martin
Begutachter / BegutachterinGrandits, Peter
Erschienen2014
UmfangIII, 80 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2014
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (EN)risk theory
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-68068 Persistent Identifier (URN)
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The Cramér-Lundberg ruin model with a high dividend barrier [1.64 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In der kollektiven Risikotheorie wird das Cramér-Lundberg Modell verwendet, um die Reserve eines Nichtlebensversichungsunternehmens zu modellieren. Die Cramér-Lundberg Ungleichung kann gefunden werden, sie gibt eine obere Schranke für die Ruinwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der anfänglichen Reserve. Darüber hinaus zeigt die Verwendung eines der Hauptresultate der Erneuerungstheorie (nämlich die Integralversion des Blackwellschen Erneuerungstheorems), dass die Ruinwahrscheinlichkeit mit wachsender anfänglicher Reserve asymptotisch exponentiell abnimmt. Dennoch kann Ruin nur dann vermieden werden, falls die Reserve in das Unendliche wächst. Das Ziel dieser Masterarbeit ist eine modifizierte Version dieses Modells zu analysieren, welche eine Dividendenbarriere inkludiert, um dieses Verhalten zu vermeiden. In diesem neuen Modell kommt es mit Wahrscheinlichkeit 1 zum Ruin, und es ist interessant zu wissen, wann dies geschieht. In Abhängigkeit ob die Barriere erreicht wird oder nicht, passiert der Ruin auf verschiedenen Zeitskalen. Wird sie erreicht, so macht die Reserve eine immer wiederkehrende Bewegung in der Nähe der Barriere und der Ruin geschieht nach einer sehr langen exponentialverteilten Zeit. Anderenfalls tritt der Ruin ziemlich bald ein und die Ruinzeit hat dieselbe Verteilung wie im klassischen Modell mit der Bedingung, dass es überhaupt zum Ruin kommt. Als nächsten Schritt kann mit Hilfe von Resultaten der Warteschlangentheorie der Anteil an Zeit, wo sich die Reserve unter einer gegebenen Höhe befindet, ermittelt werden. Im Falle von exponentialverteilten Schäden kann die Dichte der Ruinzeit gefunden werden, indem man die Laplace Transformierte explizit berechnet und diese dann numerisch invertiert. Schlussendlich wird durch eine Monte Carlo Simulation des Reserveprozesses mit Erlang verteilten Schäden noch zusätzliche Unterstützung für die gefundene asymptotische Formel geliefert.

Zusammenfassung (Englisch)

In the classical collective risk theory the Cramér-Lundberg model is used to model the surplus in a non-life insurance company. The Cramér-Lundberg inequality can be derived, giving an upper bound for the probability of ruin dependent on the initial surplus. Moreover, the usage of a major result from renewal theory (the Key Renewal Theorem) shows the probability of ruin to be asymptotically exponential as the initial surplus tends to infinity. However, ruin can only be avoided if the surplus increases to infinity. The main goal in this Master thesis is to analyze a modified version that includes a dividend barrier in order to prevent this behavior. In this new model ruin occurs with probability one and it is interesting to know when. If the barrier tends to infinity, an asymptotic distribution for the time of ruin can be found. Depending on the barrier being attained or not, ruin happens on different time scales. If the barrier is reached, the surplus process performs a recurrent motion in the vicinity of the barrier and ruin takes place after a very long exponentially distributed time. Otherwise, ruin occurs quite soon and the time of ruin has the same distribution as in the classical model conditional on ruin occurring. As a next step, the proportion of time the surplus is below some given level can be derived by using some relations to queueing theory. In case of exponentially distributed claims, the density of the time of ruin is found by numerical inversion of its Laplace transform which can be calculated explicitly. Finally, additional support for the found asymptotic formula is provided by a Monte Carlo simulation of the surplus process with Erlang distributed claims.