Wimmer, B. (2014). An advective-diffusive PDE model of starfish feeding fronts invading mussel beds in the Limfjord : numerical simulations and analytical results [Diploma Thesis, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://doi.org/10.34726/hss.2014.27028
Der Limfjord in Dänemark ist berühmt für seine Miesmuschelbänke, die von Fischern geerntet werden und eine beliebte Delikatesse darstellen. Immer wieder treten jedoch wellenartige Seesterninvasionen auf, die in die Muschelbänke einfallen und diese im Zuge ihrer Wanderung völlig abernten. Ziel dieser Diplomarbeit war die Entwicklung eines PDE-Modells zur Beschreibung und Analyse dieses Phänomens. In den numerischen Simulationen (Linienmethode) zeigte sich, dass ein Advektions-Diffusions-Ansatz mit geeigneter Diffusivitätsfunktion für die Fortbewegung der Seesterne und Erntefunktion für die Muschelbänke tatsächlich wellenartige Lösungen hervorbringt. Im Gegensatz zu den traveling waves aus der klassischen PDE-Theorie ändern diese Wellen jedoch im Laufe der Zeit Amplitude und Form. Die Daten aus den Simulationen wurden für eine gründliche Analyse der Wellengestalt verwendet, wobei sich herausstellte, dass einige Seesterne stets hinter der Wellenfront zurückblieben. Um dieses Phänomen mit einem powerlaw-Ansatz zu beschreiben, wurde Entropie als Maß verwendet. In Übereinstimmung mit den bisher erwähnten Resultaten ist der analytische Beweis, dass für das Modell in dieser Diplomarbeit keine echten traveling-wave-Lösungen existieren. Es ist daher naheliegend ein erweitertes Modell, das auch Muschelwachstum berücksichtigt, zu untersuchen. In einer linearen Stabilitätsanalyse zeigte sich, dass die Stabilität beim Übergang von einem Modell ohne zu einem mit Diffusion stets erhalten bleibt. Umgekehrt kann eine geeignet gewählte Diffusivitätsfunktion sogar ein instabiles System stabilisieren. Anschließend wurden die Ergebnisse noch mit den Erkenntnissen anderer Forscher verglichen, die in ähnlichen Modellen traveling-wave-Lösungen vorweisen konnten. Es stellte sich heraus, dass dies durch die Verwendung von Singularitäten (z.B. unstetige Diffusivitätsfunktion) möglich war und es sei angemerkt, dass die in diesen Modellen getroffenen Annahmen nicht unbedingt den biologischen Gegebenheiten entsprechen. Wurden die Parameter des Advektions-Diffusions-Modells an diese Szenarien angepasst, so zeigten sich ebenfalls traveling-wave-artige Lösungen in den Simulationen. Zum Abschluss wurde noch untersucht, wie sich eine nicht-homogene Anfangsbedingung, d.h. periodische Muschelanhäufungen am Meeresgrund, auf die Seesterninvasionswellen auswirkt. Es zeigte sich, dass die Simulation im Wesentlichen die gleichen Ergebnisse wie im homogenen Fall lieferte und daher die konkrete Form der Muschelbänke im Allgemeinen keinen großen Einfluss auf die Seesterninvasion hat. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass das entwickelte Modell die biologische Dynamik und die realen Gegebenheiten äußerst zufriedenstellend beschreibt. Vom mathematischen Standpunkt sind dabei besonders die auftretenden Wellen interessant und eine Gegenüberstellung bzw. mögliche Einordnung in die Theorie der travelingwave-Lösungen. Vom biologischen Standpunkt ist es erfreulich, dass mit diesem Modell Seesterninvasionen besser untersucht werden können und sich dadurch entscheidende Rückschlüsse auf das Abernten der Muschelbänke ziehen lassen.
de
The Danish Limfjord is famous for its mussel beds, which are harvested by fishers and known to be a popular delicacy. However, it has been observed that starfish waves invade former untouched mussel beds and completely erase them during their progression. The aim of this master thesis was to develop a PDE model describing this phenomenon. During the numerical simulations (MOL), it turned out that an advective-diffusive approach with suitable functions to specify starfish diffusion and mussel harvesting, actually yields wavelike solutions. However, these waves are not traveling waves in the classical sense, since amplitude and speed change over time. Thus, the obtained data was used to analyze and study their characteristics and asymptotics. Of special interest is the observation that some starfish are not part of the wavefront, but rather stay behind. Entropy is used as a measure to describe this phenomenon with a powerlaw ansatz. In accordance with these results is the analytical proof that for the given PDE model traveling invasion waves cannot occur. A natural model extension would be to include mussel growth. At first glance, it is not clear if this could affect the system's stability. The calculations carried out in this thesis showed that a stable non-spatial system will remain stable, no matter which diffusivity function will be used to describe the spatial system. Further, it is actually possible to stabilize an unstable non-spatial system by adequately choosing the diffusivity function. A comparison to other scientists' results yielded that they were actually able to get traveling wave solutions in similar models by introducing singularities. Hence, in another simulation run the parameters were chosen to approximate their initial conditions and diffusivity functions. Indeed, this resulted in traveling waves. Although it has to be stated that the biological assumptions do not correspond to a realistic scenario. Finally, it was investigated how periodic mussel beds as initial condition affect the wavelike starfish invasion. It turned out that the results are quite similar to the case with homogenous mussel distribution. This means that the actual mussel bed shapes, be it heap-like or rather uniformly spread, are not of high significance. Summing up all those findings, one can conclude that the advection-diffusion PDE model is able to model starfish invasions in a quite satisfying manner. From a mathematical point of view, it is highly interesting to compare the starfish waves to traveling waves as known from PDE theory and develop ways to characterize them. From a biological point of view, it is of high value to learn about the starfish wavefront's characteristics as to have a better understanding how fast and intense the mussel harvesting progresses.
en
Additional information:
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers Zsfassung in dt. Sprache