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Titel
Das Räuber-Beute-System nach Lotka-Volterra in der Ökologie und Analogien in Spieldynamik und Populationsgenetik / von Magdalena Helmreich
VerfasserHelmreich, Magdalena
Begutachter / BegutachterinLänger, Helmut
Erschienen2011
Umfang58 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2011
SpracheDeutsch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Lotka-Volterra-Modell / Räuber-Beute-Modell / mathematische Ökologie / Spieldynamik / Populationsgenetik / spieldynamische Differentialgleichung / Selektionsgleichung
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-61559 Persistent Identifier (URN)
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Das Räuber-Beute-System nach Lotka-Volterra in der Ökologie und Analogien in Spieldynamik und Populationsgenetik [3.4 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

error: u'Das Verst\xe4ndnis von Wachstum und R\xfcckgang von Bev\xf6lkerungsgruppen in der Natur, sowie Wechselwirkungen zwischen Populationen sind schon lange von Interesse, und einfache mathematische Konzepte zur Beschreibung dieser Ph\xe4nomene wurden schon vor Jahrzehnten aufgezeichnet.

VOLTERRA und LOTKA waren unter den ersten, die sich mit der mathematischen Beschreibung von Interaktionen zwischen mehreren Spezies auseinandersetzten. Ihre Werke wurden haupts\xe4chlich in den 1920er und 1930er Jahren ver\xf6ff\x0bentlicht und behandeln eine Reihe von Modellen zur Beschreibung von R\xe4uber-Beute-Beziehungen und Zwei-Spezies-Konkurrenzsystemen. Seit ihren bahnbrechenden Arbeiten gab es viele andere namhafte Beitr\xe4ge auf dem Gebiet der mathematischen \xd6kologie.

Kritiker dieser historischen Modelle vertreten oft die Au\x0bffassung, dass diese Modelle zu unrealistisch seien und bestimmte biologische Merkmale, wie Umwelteinfl\xfcsse, nicht ber\xfccksichtigen w\xfcrden. Dem ist entgegenzuhalten, dass man das Wirkungsgef\xfcge eines \xd6kosystems mit seinen Tausenden von Komponenten zwar bewundern kann, dass es sich aber nur schwer modellieren l\xe4sst. Auch schon die Analyse von Wechselwirkungen zwischen zwei Arten kann sehr kompliziert sein, weil sie oft \xfcber mehrere zwischengeschaltete Arten wirken.

Aber die Bedeutung und St\xe4rke dieser klassischen Modelle liegen nicht in der Genauigkeit der Vorhersagen oder in ihrem Realismus, sondern sie zeichnen sich wegen ihrer Einfachheit und fundamentalen Erkenntnisse aus.

Obwohl die Gleichungen, auf die in dieser Diplomarbeit eingegangen wird, im Vergleich zu den in der Natur existierenden komplexen Beziehungen extreme Vereinfachungen sind, ist es dennoch m\xf6glich, durch die Auseinandersetzung mit diesen Modellproblemen einen gewissen Einblick in die \xf6kologischen Grundprinzipien zu' error: u'erlangen.

Das einfachste R\xe4uber-Beute-Modell zwischen zwei Arten, welches auch unter dem Namen Lotka-Volterra-Modell bekannt ist, werde ich in Kapitel 2 vorstellen und analysieren.

Zwei Arten stehen dabei in einem R\xe4uber-Beute-Verh\xe4ltnis, wenn das Wachstum der einen Art, des sogenannten R\xe4ubers, von der anderen Art, der sogenannten Beute, beg\xfcnstigt wird, w\xe4hrend die Beutepopulation in ihrem Wachstum von der R\xe4uberpopulation beeintr\xe4chtigt wird.

Der italienische Mathematiker Vito VOLTERRA stellte im Jahre 1926 dieses einfache Di\x0bfferentialgleichungsmodell auf, als ihm die Frage gestellt wurde, weshalb in den Jahren nach dem Ersten Weltkrieg der Anteil der Raub fische in der Adria deutlich h\xf6her und der der Beute fische deutlich niedriger war als in den Jahren zuvor, obwohl der Fischfang w\xe4hrend des Krieges weitgehend unterbrochen wurde. Aufgrund dieses eingeschr\xe4nkten Fischfangs w\xfcrde man einen Anstieg des Fischertrags erwarten, doch VOLTERRA konnte mit seinem etwas naiven R\xe4uber-Beute-Modell diesen r\xe4tselhaften biologischen Trend beschreiben.

Dieses Modell wurde als Lotka-Volterra-Modell bekannt, da ungef\xe4hr zur selben Zeit Alfred J. LOTKA dieselben Gleichungen herleitete, um eine hypothetische chemische Reaktion mit periodischem Verhalten der chemischen Konzentrationen zu beschreiben.

Im darauff\x0bolgenden Kapitel werden einige Erweiterungen bzw. Modifi kationen dieses sehr einfachen Modells vorgestellt, um etwas realistischere Modelle zur Beschreibung von R\xe4uber-Beute-Beziehungen zu erhalten.

Diese Modi fikationen ergeben sich, indem man die Annahmen hinsichtlich der Wachstumsrate der jeweiligen Population ver\xe4ndert, von linearen hin zu nichtlinearen Raten.

In der Literatur gibt es oft unterschiedliche Defi nitionen der Lotka-Volterra-Gleichungen, nicht immer' wird darunter das einfachste Räuber-Beute-Modell verstanden, welches in Kapitel 2 behandelt wird.

Josef HOFBAUER und Karl SIGMUND zum Beispiel betrachten in ihrem Buch "Evolutionstheorie und dynamische Systeme" ein allgemeineres Modell, welches nicht nur Räuber-Beute-Beziehungen beschreibt, sondern auch Konkurrenz und symbiotische Wechselwirkungen zwischen den Populationen zulässt, und bezeichnen dieses als allgemeine Lotka-Volterra-Gleichungen. Durch diesen allgemeineren Ansatz kann man Zusammenhänge zu anderen biomathematischen Bereichen, wie Spieldynamik und Populationsgenetik, herstellen, worauf in Kapitel 4 eingegangen wird.

Das Ziel dieser Arbeit ist, einerseits auf Basis des einfachen Lotka-Volterra-Systems möglichst realitätsnahe Modelle für eine Räuber-Beute-Beziehung in der Ökologie zu erhalten, und andererseits mithilfe dieser Gleichungen Zusammenhänge zu anderen biomathematischen Gebieten herzustellen und somit das Potential dieses einfachen Systems voll auszuschöpfen.