Titelaufnahme

Titel
Zur Konvergenz und Quasioptimalität adaptiver Randelementmethoden / von Michael Karkulik
VerfasserKarkulik, Michael
Begutachter / BegutachterinPraetorius, Dirk ; Sauter, Stefan
Erschienen2012
Umfang144 S. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2012
Anmerkung
Zsfassung in engl. Sprache
SpracheDeutsch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Randelementmethode / Adaptivität / Algorithmus / Konvergenz / Optimalität / Gitter / Galerkinverfahren
Schlagwörter (EN)boundary element method / adaptivity / algorithm / convergence / optimality / galerkin method
Schlagwörter (GND)Randelemente-Methode / Galerkin-Methode / Konvergenz
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-55526 Persistent Identifier (URN)
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Zur Konvergenz und Quasioptimalität adaptiver Randelementmethoden [6.27 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Arbeit wird eine mathematisch fundierte Konvergenztheorie für adaptive Galerkinverfahren für Randintegralgleichungen entwickelt.

Es werden vorhandene Aussagen zur Optimalität des Netzabschlusses bei lokaler Verfeinerung eines Gitters erweitert indem die bisher nötigen Annahmen an das gröbste Gitter entfernt werden.

Des Weiteren werden Approximationsaussagen von Quasi-Interpolationsoperatoren in gebrochenen Sobolevräumen gezeigt, wofür Resultate aus der Theorie der Interpolationsräume verwendet werden.

Als Modellprobleme dienen Randintegralgleichungen für das Dirichlet- und Neumannproblem der Laplacegleichung.

Durch die Anwendung von Resultaten der Regularitätstheorie für partielle Differentialgleichungen werden neuartige inverse Ungleichungen für diese Randintegraloperatoren gezeigt.

Die Arbeit beinhaltet die Konvergenz- und Quasioptimalitätstheorie von adaptiven Galerkinverfahren für Gleichungen, die das Einfachschichtpotential oder den hypersingulären Operator enthalten.

Die adaptiven Algorithmen werden durch h-h/2-Fehlerschätzer oder gewichtete Residualschätzer gesteuert.

Im Falle des Dirichlet- oder Neumannproblems werden die gegebenen Randdaten zusätzlich durch diskrete Funktionen approximiert.

Es wird die Konvergenz für adaptive Algorithmen, die durch h-h/2-basierte oder gewichtete residuale Fehlerschätzer gesteuert werden, gezeigt.

Davon ausgehend wird die quasioptimale Konvergenz für adaptive Algorithmen, die durch den gewichteten Residualschätzer gesteuert werden, gezeigt. Damit ist Folgendes gemeint: wenn es, ausgehend von einem festen Startgitter, eine beliebige Folge von Gittern gibt, die eine gewisse Konvergenzrate für die zugehörigen Schätzer garantiert, dann wird diese Rate auch durch den adaptiven Algorithmus erreicht.

Es werden numerische Resultate vorgestellt, welche die Theorie aus den vorangegangenen Kapiteln unterstützen und die Effizienz von adaptiven Verfahren im Allgemeinen zeigen sollen. Es werden verschiedene Experimente für Gleichungen mit dem Einfachschichtpotential durchgeführt, wobei die zugrundeliegende Implementierung schnelle Verfahren für die Berechnung der diskreten Randintegraloperatoren verwendet

Zusammenfassung (Englisch)

The purpose of this work is to establish a convergence theory for adaptive Galerkin methods for boundary integral equations.

We extend current results on the optimality of the mesh closure for locally refined meshes. To be precise, we relax the current assumptions on the coarse mesh. Moreover, we show approximation properties of quasi-interpolation operators in fractional order Sobolev spaces.

As model problems serve the boundary integral equations of the Dirichlet and Neumann problem of the Laplace equation.

We use elliptic regularity theory to show novel inverse estimates for the associated boundary integral operators.

Furthermore, we develop the convergence and optimality theory for adaptive Galerkin methods for equations involving the simple layer potential or the hypersingular operator.

The adaptive algorithms are either driven by h-h/2 estimators or weighted residual estimators.

In the case of a Dirichlet or Neumann problem, we approximate the given data by discrete functions.

We show convergence of the proposed adaptive algorithm. Moreover, for algorithms with the weighted residual estimator, we even show quasi optimality. By that, we mean the following: if there is a sequence of meshes, such that the estimators converge with a given rate, then this rate is also attained by the adaptive algorithm.

We present numerical experiments to support the developed theory and the efficiency of adaptive algorithms.