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Titel
Prime numbers - the DNA of mathematics / Daniela Schwendinger
VerfasserSchwendinger, Daniela
Begutachter / BegutachterinTaschner, Rudolf
Erschienen2012
Umfang62 Bl. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2012
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Primzahlen / Primzahlsatz / Riemanns Hypothese / Fundamentalsatz der Arithmetik / Zwillingsprimzahlen / Primzahlabschätzung / Primzahlfunktion / Fermats kleiner Satz
Schlagwörter (EN)Prime numbers / Primes / Prime Number Theorem / Riemann's Hypothesis / Fundamental theorem of arithmetic / Twin primes / Prime number estimate / Prime counting function / Fermat's little theorem
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-47928 Persistent Identifier (URN)
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Prime numbers - the DNA of mathematics [2.82 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Arbeit beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Primzahlen und ist in vier Abschnitte unterteilt. Der erste Abschnitt bietet einen geschichtlichen Rückblich auf die zahlreichen mathematischen Errungenschaften bezüglich Primzahlen. Er erzählt die Geschichte von den frühen Entdeckungen im antiken Griechenland bis hin zum RSA-Algorithmus. Der zweite Abschnitt beinhaltet die verschiedenen Definitionen der Primzahlen und die Beweise ihrer wichtigsten Eigenschaften, wie zum Beispiel der Fundamentalsatz der Arithmetik. In den letzten beiden Abschnitten dieser Arbeit erfährt der Leser den gesamten Weg vom Beweis der Existenz von unendlich vielen Primzahlen über die ersten unsicheren Überlegungen von Euclid, Dressler, Euler, Gauß und Legendre über die Verteilung der Primzahlen bis hin zur immer noch unbewiesenen aber immens wichtigen Riemann Hypothese. Diese Arbeit erklärt wie Gauß und Legendre den Primzahlsatz entdeckt und Tschebyscheff ihn beinahe bewiesen hat. Außerdem, veranschaulicht sie Eulers Entdeckung der Verbindung zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen. Am Ende wird Riemanns Hypothese bezüglich der Lage der nicht trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion für komplexe Zahlen und deren immensen Einfluss nicht nur im Gebiet der Primzahlen sondern auch in anderen mathematischen Bereichen und sogar der Physik erläuter.

Zusammenfassung (Englisch)

This paper deals with the characteristics of prime numbers and is divided into four main parts. The first part offers a brief history of the numerous achievements concerning prime numbers. It starts with the very early discoveries of the ancient Greeks and ends with the RSA algorithm. This is followed by a second more mathematical part which states the different definitions of prime numbers and proves their most important characteristics, such as the fundamental theorem of arithmetic.

The last two sections of this paper state the whole way from the proof of infinitely many prime numbers and the first unsure consideration of their distribution by Euclid, Dressler, Euler, Gauss, and Legendre to the still unproven but vitally important Riemann hypothesis. This paper explains how Gauss and Legendre discover the Prime Number Theorem and how Chebyshev nearly managed to prove it. Moreover, it illustrates Euler's discovery of the connection between the zeta function and prime numbers. At the end of the paper, Riemann's Hypothesis about the location of the non trivial zeros of the zeta function for complex numbers and its immense influence not only on the field of prime numbers but also on other areas of mathematics and even physic is elaborated.