Titelaufnahme

Titel
Beulanalyse einer gebetteten Kreisplatte mit nicht-Euklidischer Metrik / von Michael Hermann Schwarzbart
VerfasserSchwarzbart, Michael Hermann
Begutachter / BegutachterinSteindl, Alois ; Rammerstorfer, Franz
Erschienen2013
UmfangXIV, 98 Bl. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2013
Anmerkung
Zsfassung in engl. Sprache
SpracheDeutsch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Graphen, Kantenspannung, Beulen, Kreisplatte, AIREBO
Schlagwörter (EN)graphene, edge stress, buckling, annular plate, AIREBO
Schlagwörter (GND)Graphen / Kreisplatte / Nichteuklidische Geometrie / Beulung / Kante / Mechanische Spannung
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-46140 Persistent Identifier (URN)
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Beulanalyse einer gebetteten Kreisplatte mit nicht-Euklidischer Metrik [2.46 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Für das Erzeugen einer neuen Oberfläche in einem Festkörper oder einer Flüssigkeit ist Energie aufzuwenden. Auf atomarer Ebene werden dabei ungesättigte Bindungen erzeugt die eine erhöhte Energie, die sogenannte Oberflächenenergie, zur Folge hat. Bei dünnen Schichten wie Graphen kann diese Energie zu einer drastischen Veränderung der globalen Struktur führen. In der vorliegenden Arbeit steht der Einfluss einer freien Kante auf die globale Konfiguration eines kreisförmigen Graphenpatches im Vordergrund. Im zweiten Kapitel wird eine molekularmechanische Modellierung vorgestellt. Kleine Einheitszellen werden zur Bestimmung der Kantenenergie bzw. -spannung für armchair- und zigzag-Kanten verwendet. Graphen wird dabei mit Hilfe eines klassischen Vielteilchenpotentials, AIREBO bzw. REBO beschrieben. Die Größenordnung und das Vorzeichen der Kantenenergie und -spannung werden richtig abgebildet. Die veränderte Bindungskonfiguration führt zu einer Druckspannung die stark am Rand konzentriert ist, unabhängig von der Geometrie der Kante. Der Randbereich will sich aufgrund der geänderten Bindungsstruktur ausdehnen, wird aber von weiter innen liegenden Bereichen daran gehindert. Mit Hilfe einer empirischen Kraftfeldformulierung wird der Einfluss der Druckspannung auf die globale Gleichgewichtskonfiguration eines kreisförmigen Graphenpatches studiert. An der freien Kante tritt eine, in tangentialer Richtung, wellige transversale Verschiebung auf. In radialer Richtung klingt diese Verschiebung rasch ab. Um den Einfluss eines Substrats auf die ausgebeulte Konfiguration zu untersuchen, wird eine zusätzliche Graphenschicht in Rechnung gestellt, die in der Ebene festgehalten ist und über die Van der Waals-Kraft mit dem Patch interagiert. Eine entsprechende Formulierung im Rahmen der Kontinuumsmechanik ermöglicht das Studium eines passenden Stabilitätsproblems. Die Messung von Abständen auf einer Oberfläche ist untrennbar mit dem Begriff des Metriktensors verbunden. Mit Hilfe einer vom Radius abhängigen Störung des Metriktensors, die als target metric bezeichnet wird, wird die geänderte Bindungsstruktur des Graphenpatches im kontinuumsmechanischen Modell dargestellt. Der Verzerrungstensor stellt sich als Differenz zwischen dem aktuellen und dem target metric Tensor dar und bildet den Ausgangspunkt für die Herleitung der nichtlinearen Föppl-von-Karman Plattengleichungen für eine nicht-Euklidische Kreisplatte. Im Plattenproblem tritt keine externe Belastung auf, sondern nur ein Eigenspannungszustand aufgrund des veränderten Metrikterms. Die lineare Stabilitätsanalyse der nicht ausgebeulten Platte liefert eine Stabilitätsgrenze für die Intensität der ortsabhängigen Störung des Metriktensors in Abhängigkeit von der Steifigkeit der Bettung. Kurven unterschiedlicher Beulmoden schneiden einander in der dimensionslosen Parameterebene, wobei die Intensität der Störung und die Steifigkeit der Bettung die entscheidenden Parameter sind. An einem solchen Schnittpunkt wird eine nichtlineare Stabilitätsanalyse durchgeführt, um zu klären ob die beiden am Schnittpunkt beteiligten Moden interagieren. Es zeigt sich, dass die am betrachteten Schnittpunkt beteiligten Lösungen an entsprechenden Stabilitätsgrenzen subkritisch verzweigen. Für die Analyse des Nachbeulverhaltens jenseits der Stabilitätsgrenze kommt ein diskretes Modell zum Einsatz. Die kontinuierliche Platte wird mittels eines Netzwerks aus linear elastischen Federn diskretisiert. Der veränderte Metrikterm des kontinuumsmechanischen Plattenmodells kann in sehr anschaulicher Weise als eine passende Vergrößerung der ungedehnten Federlängen im diskreten Modell abgebildet werden. Mit diesem Modell wird das Nachbeulverhalten der Kreisplatte studiert.

Zusammenfassung (Englisch)

To create a new surface in a solid or a liquid material, energy needs to be spent. On the atomistic level dangling bonds are formed, which tend to be reconstructed accompanied by an excess surface energy.

For thin structures like graphene this energy can change the global shape of the structure drastically. In this work the effect of a free edge on the global behaviour of a circular graphene patch is studied.

The second chapter is devoted to the molecular mechanics approach. Small unit cells are used to compute the edge energy and edge stress of armchair and zigzag edges respectively. Graphene is modelled by classical multibody potentials called AIREBO and REBO, which are reasonable for describing hydrocarbon structures. As a result of the changed bonding configuration there is a compressive stress localised at the edge, independent of the underlying geometry of the edge. With an empirical force field formulation the effect of the compressive stress on the global configuration of a circular graphene patch is studied. The free edge shows a wavy out of plane displacement in the circumferential direction. In radial direction the displacement decays away from the edge. To investigate the influence of a substrate on the buckled configuration, an additional fixed graphene sheet interacting via the Van der Waals force is considered. Formulating this problem in the framework of continuum mechanics, offers the possibility of stating an appropriate stability problem. The aim of such an approach is to obtain the stability boundary in the plane of suitable parameters. In the third chapter the plate equations for a non-Euclidean metric are derived. The question of measuring lengths on a surface is intrinsically tied to the metric tensor. The expanding edge is modelled as a perturbation of the metric tensor of the elastic plate, which is called target metric. The strain tensor results from the difference between the actual and the target metric tensor, and is the starting point of deriving the nonlinear Föppl-von-Karman plate equations for a non-Euclidean annular plate. There is no external load, but the attempt of the edge to increase its circumferential line due to the changed metric term.

Performing a linear stability analysis of the flat unbuckled configuration leads to the stability boundary in the dimensionless parameter plane, namely the critical metric coefficient as a function of the foundation stiffness. Curves of different modes of instability cross each other in the parameter plane. At such a point a nonlinear analysis is performed, to answer the question if the two modes may interact at this point. It turns out, that both solutions bifurcate subcritical at the corresponding stability boundaries. To study the post buckling behaviour beyond the stability boundary a discrete model is used. The continuous plate is discretised by means of a triangular spring network model. The expanding edge can be defined very intuitively by increasing the equilibrium lengths of corresponding springs. With this discrete formulation of the plate the postbuckling configurations of the circular plate are computed.