Titelaufnahme

Titel
Abelsche Zahlkörper und das Klassenzahlproblem / von Johannes Schleischitz
VerfasserSchleischitz, Johannes
Begutachter / BegutachterinDrmota, Michael
Erschienen2010
Umfang96 Bl.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2010
SpracheDeutsch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Zahlkörper, Ganzheitsring, Idealklassengruppe, Klassenzahl
Schlagwörter (EN)number field, ring of integers, ideal class group, class number
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-44069 Persistent Identifier (URN)
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Abelsche Zahlkörper und das Klassenzahlproblem [0.52 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Die Arbeit besch"aftigt sich mit der reichhaltigen Arithmetik von algebraischen Zahlk"orpern, also endlichdimensionalen Erweiterungen des K"orpers der rationalen Zahlen. Als Hauptziel ist die Herleitung der Klassenzahlformel f"ur Erweiterungen mit abelscher Galoisgruppe zu nennen. Sie gibt die Zahl der verschiedenen Idealklassen des Ganzheitsringes eines Zahlk"orpers an und ist im Fall genannter abelscher Zahlk"orper mit gewissen Standardkenngr"o"sen des Zahlk"orpers in einen einfachen formelm"a"igen Zusammenhang zu bringen. Die Klassenzahl misst in einem gewissen Sinn, wie weit ein Ring von einer eindeutigen Primfaktorzerlegung entfernt ist, so bedeutet Klassenzahl 1 etwa, dass ein Hauptidealring vorliegt un damit eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Bei der Herleitung der Formel wird die Theorie P-adischer Körper und Teilbereiche aus Geometrie der Zahlen erarbeitet.

Die in der Formel auftretenden L-Reihen werden noch im abschließenden Kapitel näher beleuchtet, ihre Auswertung stellt eine Hauptschwierigkeit beim praktsichen Gebraúch der Formel dar.

Zusammenfassung (Englisch)

The diploma thesis is about the arithmetic of algebraic number fields and its ring of integers. One main aim is to deduce the class number formula for abelian fields, i.e. those who have an abelian galois group. This number is in close connection to some standard constants of a number field, and it measures how far the ring of integers is away from having a unique prime factorization. The thesis deals with theory of P-adic fields and geometry of numbers to infer the class number formula. In the final chapter, there is some information about how to compute the Dirichlet L-series appearing in the class number formula, which is necessary for the practical use of the class number formula.