Yule-Walker Gleichungen für singuläre AR Systeme

Abstract

In dieser Arbeit behandeln wir Yule-Walker Gleichungen bei singulären AR Systemen. Im Gegensatz zum in der Literatur üblichen Fall der regulären AR Systeme besteht der Fehlerprozess νt aus linear abhängigen Komponenten. Durch diese Abhängigkeit ist die Toeplitz-Kovarianzmatrix Γp möglicherweise singulär und die Yule-Walker Gleichungen sind nicht eindeutig lösbar.<br />Im ersten Kapitel betrachten wir generalisierte dynamische Faktormodelle und beschreiben Umstände, unter denen singuläre AR Systeme auftreten können.<br />Im zweiten Kapitel geht es um die Yule-Walker Gleichungen im singulären Fall. Für eine Lösung der Yule-Walker Gleichungen suchen wir einen stationären Prozess, der diese Differennzengleichung erfüllt. Ein derartiger Prozess besteht aus einer regulären und einer singulären Komponente. Wir können zeigen, dass die partikuläre Lösung der Differenzengleichung, die reguläre Komponente, ein Moving Average Prozess ist, der für alle Lösungen der Yule-Walker Gleichungen eindeutig ist, während die homogene Lösung, die singuläre Komponente, ein harmonischer Prozess ist.<br />Weiters beschreiben wir die Lösungsmenge aller stationären AR(p) Prozesse, die die vorgegebenen Kovarianzdaten erfüllen. Darüber hinaus betrachten wir die Stabilität der Lösungen der Yule-Walker Gleichungen.<br />Wir geben eine spezielle Lösung an, die Minimumnormlösung, die unter allen Lösungen der Yule-Walker Gleichungen diejenige mit den meisten stabilen Nullstellen ist.<br />Im dritten Kapitel wenden wir uns dem Schätzen zu. Zuerst geben wir eine Prozedur an, die im Falle, dass Populationskovarianzdaten vorliegen, ein AR System und einen Prozess liefert, sodass die vorgegebenen Kovarianzdaten realisiert werden.<br />Bei echten Stichprobendaten gelingt es uns auch, einen Prozess anzugeben, der die Kovarianzdaten realisiert, jedoch finden wir kein einheitliches AR System für reguläre und singuläre Komponente.