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Title
Numerical methods for stochastic partial differential equations / Philipp Dörsek
AuthorDörsek, Philipp
CensorMelenk, J. Markus ; Teichmann, Josef
Published2011
DescriptionX, 141 S. : graph. Darst.
Institutional NoteWien, Techn. Univ., Diss., 2011
Annotation
Zsfassung in dt. Sprache
LanguageEnglish
Bibl. ReferenceOeBB
Document typeDissertation (PhD)
Keywords (DE)stochastische partielle Differentialgleichungen / Markov-Halbgruppen / Feller-Eigenschaft / stark stetige Halbgruppen / Splitting-Verfahren / Kubatur-Verfahren / Zinstheorie / stochastische Navier-Stokes-Gleichungen
Keywords (EN)stochastic partial differential equations / Markov semigroups / Feller property / strongly continuous semigroups / splitting schemes / cubature schemes / interest rate theory / stochastic Navier-Stokes equations
Keywords (GND)Stochastische Differentialgleichung / Partielle Differentialgleichung / Numerisches Verfahren
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-43231 Persistent Identifier (URN)
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Numerical methods for stochastic partial differential equations [0.84 mb]
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Abstract (German)

Wir betrachten stochastische partielle Differentialgleichungen sowohl von einer analytischen als auch von einer numerischen Perspektive. Wir führen gewichtete Räume von Funktionen auf den Zustandsräumen unendlichdimensionaler stochastischer Gleichungen ein. Mittels einer Erweiterung der klassischen Feller-Eigenschaft positiver Halbgruppen auf dem Raum der stetigen Funktionen auf einem lokalkompakten Raum, die im Unendlichen abklingen, leiten wir hinreichende Bedingungen für die starke Stetigkeit der von einem Markovprozess in endlicher oder unendlicher Dimension induzierten Halbgruppe her. Unter Verwendung der starken Stetigkeit erhalten wir Taylor-Entwicklungen der Markov-Halbgruppen der Lösungsprozesse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen.

Diese Resultate werden auf die numerische Analysis von Splitting- und Kubatur-Approximationen von stochastischen partiellen Differentialgleichungen vom Da Prato-Zabczyk-Typ angewendet. Wir erhalten dieselben optimalen Konvergenzraten wie im klassischen Rahmen. Als numerisches Beispiel simulieren wir die Heath-Jarrow-Morton-Gleichung der Zinstheorie.

Abschließend leiten wir Fehlerabschätzungen für die stochastischen Navier- Stokes-Gleichungen auf dem zweidimensionalen Torus her. Die Abschätzungen sind optimal in der Zeit, aber die Konstanten hängen von der Ordnung einer Ortsdiskretisierung durch eine Spektralmethode ab. Numerische Rechnungen bestätigen die Anwendbarkeit der vorgeschlagenen Methoden.

Abstract (English)

We consider stochastic partial differential equations, both from an analytical and a numerical point of view. We introduce weighted spaces of functions on state spaces of infinite-dimensional stochastic equations. Through an extension of the classical Feller property of positive semigroups on the space of functions decaying at infinity on a locally compact space, we derive sufficient conditions for the strong continuity of the semigroup induced by a Markov process in finite and infinite dimensions. Using the strong continuity, we obtain Taylor expansions of Markov semigroups of solution processes of stochastic partial differential equations.

These results are applied to the numerical analysis of splitting and cubature approximations for stochastic partial differential equations of Da Prato-Zabczyk type. We recover the same optimal rates of convergence as in their classical settings. As a numerical example, we simulate the Heath-Jarrow-Morton equation of interest rate theory.

Finally, we derive error estimates for discretisations of the stochastic Navier-Stokes equations on the two-dimensional torus. The estimates are optimal in time, but the constants depend on the order of the spatial discretisation by a spectral method. Numerical calculations confirm the applicability of the suggested schemes.