Titelaufnahme

Titel
Dreiecke, Vierecke, ... ebene Geometrie durch komplexe Zahlen erfasst und mit einer dynamischen Software visualisiert / von Viktoria Reither
VerfasserReither, Viktoria
Begutachter / BegutachterinPaukowitsch, Peter
Erschienen2010
Umfang131 Bl. : Ill.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2010
SpracheDeutsch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Aufsatzfiguren/ Formgröße/ Doppelverhältnisse/ Satz von Napoleon/ Satz von Miquel/
Schlagwörter (EN)positioned figures/ shapes/ double cross ratios/ napoleonś theorem/ miquelś theorem/ gauss theorem/ ptolemäustheorem/ first shape/ second shape/ miquel triangles
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-39461 Persistent Identifier (URN)
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Dreiecke, Vierecke, ... ebene Geometrie durch komplexe Zahlen erfasst und mit einer dynamischen Software visualisiert [6.86 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Im Unterrichtsfach Mathematik wird der Körper der komplexen Zahlen als Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen eingeführt. Dabei beschränkt sich der Unterricht auf die Erforschung der arithmetischen Operationen und die geometrischen Interpretation der komplexen Zahlen. Mit den komplexen Zahlen können komplizierte geometrische bzw.

mathematische Aussagen und Sätze der ebenen Geometrie relativ einfach, aber sehr wohl elegant, gelöst werden. Leider nützt man die Vorteile der komplexen Zahlen als Instrument für die Lösung von verschiedenen Aufgaben der Elementargeometrie zu wenig. Als Hauptziel meiner Diplomarbeit sehe ich nun, die Vorteile der komplexen Zahlen als Lösungsmittel an verschiedensten Beispielen der ebenen Geometrie anzuführen. Die Arbeit wird in zwei Bereiche getrennt.

Zum einen werden Beispiele der ebenen Geometrie mit den komplexen Zahlen erfasst und schriftlich festgehalten. Zum anderen visualisiere ich die behandelten Beispiele mit einer dynamischen Software. Dazu wird das Programm " Euklid Dynageo, Version 3.1f" verwendet. Der schriftliche Teil meiner Arbeit wird ebenfalls in zwei Abschnitte getrennt. In Teil I werden Beispiele mit unterschiedlichen Aufgabenstellungen und bedeutende Sätze der Geometrie mit den komplexen Zahlen mit verschiedenen Lösungswegen behandelt. Dabei führt die Addition von komplexen Zahlen auf Translationen und die Multiplikation auf Drehstreckungen. In Teil II wird ein anderer Beweisstil angeführt.

Es werden Doppelverhältnisse definiert und damit die Formgröße von Dreiecken bestimmt. Diese Formgröße ist eine komplexe Zahl, die Dreiecke bis auf Ähnlichkeiten festlegt. In beiden Abschnitten findet sich zu Beginn ein Kapitel mit Grundbegriffe und Formeln, die zur Beweisführung der Beispiele benötigt werden.

Zusammenfassung (Englisch)

In the subject mathematics the solid of komplex numbers is introduced as a expansion of the solid of real numbers. The lessons are constrained to studing the arithmetic operations and the interpretation of the geometry of komplex numbers. With the komplex numbers we can simply solve complicated geometric and mathematical statements and theorems of the plane geometry. Unfortunatly the advantages of komplex numbers as procedure of solutions are profited only a little bit. The chief object of my diploma project is to show the advantages of komplex numbers as a way of solutions. My paper is seperated into two parts. On the one hand I show different examples of the plane geometry with the komplex numbers in written form. And on the other hand I visualize these examples with a dynamic software. For this part I used the program "Euklid Dynageo, version 3.1f". The written part of my paper is also seperated in two parts. Part One, examples with different problems and known theorems of the plane geometry are solved with komlex numbers. Here the addition leads to translations and the multiplication leads to rotations with dilations.

Part two, another way of evidence is shown. For this we define double cross ratios and shapes of triangles. The shape of a triangle is a komplex number, which determine a triangle exept similarities. In both parts is at the beginning a chapter with basic ideas and formulas, which are used for the evidences of the expamples and theorems.