Titelaufnahme

Titel
Star product on non(anti)commutative superspace / Rashid Ahmad
VerfasserAhmad, Rashid
Begutachter / BegutachterinKreuzer, Maximilian ; Presnajder, Peter
Erschienen2010
Umfang71, 2 S.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2010
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)nichtkommutativ / antikommutativ / Superraum / Sternprodukt / Koordinatenoperator / Polydifferenzial / Hopfalgebra / Summenkonvention
Schlagwörter (EN)Non-commutative / Anti-commutative / superspace / Star Product / Coordinate Operators / Polydifferential / Hopf algebra / Summation conventions
Schlagwörter (GND)Superraum / Nichtkommutative Algebra / Hopf-Algebra / Diffeomorphismus / Ortsoperator
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-37700 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist frei verfügbar
Dateien
Star product on non(anti)commutative superspace [0.48 mb]
Links
Nachweis
Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Arbeit widmet sich der expliziten Berechnung des Sternprodukts im bosonischen als auch im Superraum und dessen Verallgemeinerung auf den nicht-assoziativen Fall. Koordinatenfunktionen bilden in der klassischen Geometrie Generatoren einer kommutativen Algebra. Diese werden in der nicht-kommutativen Geometrie mit Elementen einer nicht-kommutativen aber üblicherweise assoziativen Algebra ersetzt, während in dieser Arbeit auch der nicht-assoziative Fall behandelt wird. Koordinaten-Monome als Basis der kommutativen Funktionenalgebra lassen sich isomorph abbilden auf Weyl-geordnete Monome der Generatoren der nicht-kommutativen Algebra. Über diese Einbettung induziert die nicht-kommutative Algebra ein nicht-kommutatives Produkt im Funktionenraum, eben das Sternprodukt.

Vor Kurzem wurde eine effektive Methode für die explizite iterative Berechnung des assoziativen bosonischen Sternprodukts vorgeschlagen. Es basiert auf die Darstellung der nicht-kommutativen Algebra über Polydifferentialoperatoren. Diese Herangehensweise wird in der vorliegenden Arbeit bis zur dritten Ordnung im Entwicklungsparameter vorgestellt und auf den Superraum erweitert. Auch Überlegungen zu einer möglichen Erweiterung dieser Methode auf den nicht-assoziativen Fall werden angestellt. In einer der zwei vorgeschlagenen Verallgemeinerungen wird das nicht-assoziative Sternprodukt bis zu zweiter Ordnung berechnet und eine Zyklizitäts-Bedingung wird untersucht.

Hat man einmal das Sternprodukt gegeben, ist es naheliegend, seine diversen Eigenschaften zu studieren. Diffeomorphismen auf kommutativen Koordinatenräumen können über die Komultiplikation der Hopfalgebra definiert werden. Entsprechend kann man deformierte Diffeomorphismen auf dem nicht-kommutativen Koordinatenraum über die Deformation der Komultiplikation und somit der Hopfalgebra definieren. In der vorliegenden Arbeit wird vorgeschlagen, Quantenkorrekturen der klassischen Transformationen des Sternprodukts unter der Lie-Ableitung über den Formality-Satz zu berechnen. Dies wird dann bis zu zweiter Ordnung im Entwicklungsparameter durchgeführt.

Sämtliche Rechnungen dieser Arbeit werden für graduierte Objekte ausgeführt, sehen aber aufgrund der verwendeten graduierten Einsteinschen Summationskonvention aus wie im bosonischen Fall. Am Ende werden jedoch auch einige Ergebnisse explizit in bosonische und fermionische Anteile getrennt.

Die Twist-Darstellung des Sternproduktes auf nicht-(anti-)kommutativem Superraum wird im Anhang erläutert.

Zusammenfassung (Englisch)

This thesis is devoted to the explicit calculation of the star product in bosonic space as well as in superspace and its generalization to the nonassociative case.

Promoting the coordinate functions as elements of a commutative algebra to elements of a noncommutative associative algebra is carefully reviewed and further generalized to a nonassociative algebra. The coordinate monomials as basis of the commutative algebra of functions are naturally mapped to Weyl ordered monomials of the generators of the noncommutative algebra. Via this embedding the noncommutative algebra product induces a noncommutative product on the space of functions, namely the star product. Recently an effective method for the explicit calculation of the star product to higher derivative orders has been presented, based on a representation of the non commutative algebra via polydifferential operators. This approach is reviewed up to third order in the expansion parameter and generalized to the superspace. Comments on a possible extension of the method to the nonassociative case are given. In one of the proposed approaches the non associative star product is calculated to the second order and a cyclicity condition is imposed.

Once we have the star product at every order, it is compelling to look for its different properties.

Diffeomorphisms on commutative coordinate space are defined with the help of comultiplication of the Hopf algebra and deformed diffeomorphisms are introduced on noncommutative coordinate space by deforming the comultiplication and hence the Hopf algebra.

Quantum corrections to the classical transformation of the star product under Lie derivative are proposed via the formality theorem and computed to the second order in the star product expansion parameter. Although all the calculations are done with graded objects, equations look as in the bosonic case due to the use of a graded Einstein summation convention. However, different components of the star product on the non(anti)commutative superspace are explicitly computed at the end. The twist representation of the star product on non(anti)superspace is given in the appendix.