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Title
On the asymptotic behaviour of the estimator of Kendall's Tau / von Barbara Dengler
AuthorDengler, Barbara
CensorSchmock, Uwe ; McNeil, Alexander
Published2010
DescriptionXII, 126 S. : graph. Darst.
Institutional NoteWien, Techn. Univ., Diss., 2010
Annotation
Zsfassung in dt. Sprache
LanguageEnglish
Bibl. ReferenceOeBB
Document typeDissertation (PhD)
Keywords (DE)Abhängigkeitsmaße / Kendalls Tau / U-Statistik / asymptotische Normalität / elliptische Verteilungen / Copula / t-Verteilung
Keywords (EN)measures of dependence / Kendalls tau / U-statistics / asymptotic normality / elliptical distributions / copula / t-distribution
Keywords (GND)Abhängigkeit / Wahrscheinlichkeitsmaß / Schätzfunktion / Asymptotik
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-35816 Persistent Identifier (URN)
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On the asymptotic behaviour of the estimator of Kendall's Tau [0.81 mb]
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Abstract (German)

Diese Dissertation behandelt Abhängigkeitsmaße und ihre Schätzer. Von besonderem Interesse ist dabei das asymptotische Verhalten der Schätzer, speziell die Eigenschaft der asymptotischen Normalität und die zugehörige asymptotische Varianz. Dafür gibt es hauptsächlich zwei Gründe. Zum einen erlaubt die asymptotische Normalität die Bildung von asymptotischen Konfidenzintervallen, welche Punktschätzungen ergänzen können, beispielsweise bei Tests auf Unabhängigkeit. Die zweite Anwendung besteht darin, Schätzverfahren anhand ihrer asymptotischen Varianz zu bewerten. Dies ist vorallem von Bedeutung, wenn zwei Schätzmethoden existieren und diese miteinander verglichen werden können.

Die zwei Abhängigkeitsmaße, die wir hier betrachten, sind der lineare Korrelationskoeffizient und das auf Rängen basierende Maß Kendall's Tau.

Beide Schätzer sind asymptotisch normal und in der Literatur existieren Formeln für ihre asymptotischen Varianzen, wobei diese relativ kompliziert sind. In dieser Dissertation werden verschiedene Methoden zur Vereinfachung entwickelt.

Kendall's Tau und sein Schätzer basieren auf Rängen und somit hängen beide nur von der Abhängigkeitsstruktur, also von der Copula, und nicht von den Randverteilungen ab. Daher liefert die erste Vereinfachung der asymptotischen Varianz des Tau-Schätzers eine Formel die eine Funktion der Copula ist. Analytische Lösungen werden präsentiert für verschiedene Familien von Copulas, wie beispielsweise die Clayton-, die Farlie-Gumbel-Morgenstern- und die Marshall-Olkin-Familie.

Ein zweiter Ansatz die asymptotische Varianz des Tau-Schätzers zu vereinfachen, beruht auf einer geometrischen Betrachtung und gilt für achsensymmetrische Verteilungen. Eine konkrete Anwendungsmöglichkeit bietet sich dabei durch sphärische Verteilungen. Diese bilden eine Unterklasse der elliptischen Verteilungen, welche wiederum Verallgemeinerungen der Normalverteilung sind. Elliptische Verteilungen sind in der Praxis weit verbreitet, da sie mehr Flexibilität bieten als die Normalverteilung, dabei aber einige schöne Eigenschaften behalten.

Eine davon ist die Beziehung zwischen dem linearen Korrelationskoeffizienten und Kendall's Tau, die zu zwei Schätzmethoden des Abhängigkeitsmaßes führt: direkte Verwendung des Standardschätzers des linearen Korrelationskoeffizienten oder Schätzung von Kendall's Tau und anschließende Umwandlung. Beide Methoden führen zu asymptotisch normalverteilten Schätzern und können daher anhand ihrer asymptotischen Varianzen verglichen werden.

Die Vereinfachungen, die für achsensymmetrische Verteilungen entwickelt wurden, führen zu expliziten Lösungen der asymptotischen Varianz des Tau-Schätzers für verschiedene Verteilungen. Eine davon ist die unkorrelierte t-Verteilung. Die Berechnungen stellten sich als schwierig heraus, aber letzendlich konnten wir analytische Lösungen der asymptotischen Varianzen beider Schätzer für alle unkorrelierten t-Verteilungen mit ganzzahligen Freiheitsgraden entwickeln. Diese zeigen, dass besonders bei kleinen Freiheitsgraden, wo die Verteilung endlastig (heavy-tailed) ist, der alternative Schätzer mittels Kendall's Tau besser funktioniert als der Standardschätzer.

Abstract (English)

This thesis is about dependence measures and their estimators.

We are interested in the asymptotic behaviour of the estimators, especially in asymptotic normality and the corresponding asymptotic variance. This is mainly due to two reasons. The first one is that asymptotic normality allows to build asymptotic con fidence intervals, which can complement point estimations, e.g. for tests of independence. The second application is to rate estimating procedures by their asymptotic variance. This is especially interesting if two estimation methods exist and can be compared.

The two dependence measures we consider are the classical linear correlation coeffi cient and the rank-based measure Kendall's tau. Both estimators are asymptotically normal and formulas for the asymptotic variance exist within the literature, although they are quite complicated. Diff erent methods of simplification are developed within this thesis.

Kendall's tau is based on ranks and so is its estimator, thus they both only depend on the dependence structure, i.e. on the copula, and not on the marginal distributions. Therefore the fi rst simpli cation for the asymptotic variance of the tau-estimator gives a formula that is a function of the copula. Analytical solutions are given for several well-known families, like e.g. the Clayton, the Farlie-Gumbel-Morgenstern and the Marshall-Olkin family.

A second approach to simplify the asymptotic variance of the tau-estimator is based on a geometrical consideration and is valid for axially symmetric distributions. We especially apply it to spherical distributions. They are a subclass of elliptical distributions, which generalize the normal distribution. Elliptical distributions are widely used in practice, as they provide more freedom than the normal distribution, but keep some nice properties. One of them is the connection between the linear correlation coefficient and Kendall's tau, which leads to two ways of estimating the dependence measure: using the standard estimator of the linear correlation directly or estimating Kendall's tau and transforming it. Both procedures lead to asymptotically normal estimators and can therefore be compared by their asymptotic variance.

The simpli cations achieved for axially symmetric distributions lead to explicit solutions of the asymptotic variance of the tau-estimator for several distributions. One of them is the uncorrelated t-distribution.

Calculations were tough, but we finally derived an analytic solution for both estimators for every uncorrelated t-distribution with integer valued degrees of freedom. It shows that especially for small degrees of freedom, where the distribution is heavy-tailed, the alternative estimator performs much better than the standard estimator.