Titelaufnahme

Titel
Dependent credit rating transitions and the generalization of the Dybvig-Ingersoll-Ross theorem / Verena Goldammer
VerfasserGoldammer, Verena
Begutachter / BegutachterinSchmock, Uwe ; Runggaldier, Wolfgang
Erschienen2010
UmfangX, 108 S. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2010
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Kreditrisiko / abhängige Kreditratingübergänge / Markov Sprungprozesse / Maximum-Likelihood-Schätzung / Dybvig-Ingersoll-Ross Theorem / Zinsmodelle / langfristige Investitionsrenditen / asymptotische Monotonie / asymptotische Minimalität
Schlagwörter (EN)credit risk / dependent credit rating transitions / Markov jump process / maximum likelihood estimation / Dybvig-Ingersoll-Ross theorem / interest rate models / long-time zero-coupon rate / asymptotic monotonicity /asymptotic minimality
Schlagwörter (GND)Kreditrisiko / Bonität / Rating / Mathematische Modellierung / Markov-Sprungprozess / Maximum-Likelihood-Schätzung / Asymptotik
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-32205 Persistent Identifier (URN)
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Dependent credit rating transitions and the generalization of the Dybvig-Ingersoll-Ross theorem [0.91 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Dissertation befasst sich mit einem neuen Ansatz für die Modellierung von Kreditrisiken und einer Erweiterung des bekannten Theorems von Dybvig, Ingersoll und Ross in der Zinstheorie. Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit der Modellierung von abhängigen Kreditratingübergängen. Hierzu internalisieren wir den Effekt von Schocks auf zeitstetige Kreditratings. Manche Ereignisse verursachen eine gemeinsame Veränderung der Kreditwürdigkeit von Schuldnern. Um diese Auswirkung zu modellieren, verwenden wir einen markierten Punktprozess. Dieser modelliert die zufälligen Zeiten der Änderungen und eine zufällige Marke gibt die möglichen Änderungen der Kreditratings an.

Bisher wird die Abhängigkeit zwischen Kreditratings meist dadurch eingeführt, dass die Intensität der Ratingübergänge der einzelnen Schuldner von dem Gesamtzustand der Ökonomie abhängt. Gleichzeitige Ratingänderungen von mehreren Schuldnern sind hier nicht möglich. Im Unterschied zu früheren Arbeiten erlauben wir in dieser Dissertation auch Ratingübergänge von mehreren Schuldnern zu derselben Zeit. Dazu studieren wir ein spezielles Modell in unserem allgemeinen Rahmen ausführlicher. Die Ratingübergänge werden durch einen zeitlich-homogenen Markovprozess beschrieben und alle Schuldner mit demselben Rating dürfen nur zu derselben Klasse wechseln. Jedes Mal, wenn ein Poissonprozess springt, wählen wir zufällig eine Funktion s, die jeder Ratingklasse eine Ratingklasse zuweist. Nun können alle Schuldner mit Rating 1 entweder zum Rating s(1) wechseln, oder in Klasse 1 bleiben, alle Schuldner mit Rating 2 zu s(2) wechseln, oder in 2 bleiben, usw. Ob ein Schuldner tatsächlich die Ratingklasse wechselt, hängt von einer unabhängig geworfenen Münze ab. Durch diese Struktur kann man gleichzeitige Ausfälle erklären und verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Verlustfunktionen erzeugen. Durch eine numerische Simulation zeigen wir, wie die Wahl der Verteilung der gezogenen Ratingfunktion s die Verteilung der Verlustfunktion eines Kreditportfolios beeinflusst. Im restlichen Kreditratingteil kalibrieren wir unser Modell an historische Ratingänderungen mithilfe des Maximum-Likelihood-Verfahrens.

Für unser allgemeines Modell stellen wir die Likelihood-Funktion auf. Da die Berechnung des Maximums im Allgemeinen keine geschlossene analytische Form liefert, spezialisieren wir unser allgemeines Modell und betrachten die stark gekoppelte Irrfahrt. In diesem Fall können wir den Maximum-Likelihood-Schätzer angeben. Um die Genauigkeit des Schätzers zu beurteilen, zeigen wir, dass der Schätzer konsistent und asymptotisch normalverteilt ist. Der zweite Teil der Dissertation widmet sich dem Verhalten von langfristigen Investitionsrenditen. Dybvig, Ingersoll und Ross zeigen, dass langfristige Investitionsrenditen in einem arbitragefreien Marktmodell niemals fallen können. Falls diese Renditen in einem Modell fallen, erlaubt das Modell Arbitrage. Sie setzen dabei voraus, dass der Grenzwert der Investitionsrenditen existiert. Es ist allerdings auch in bekannten Zinsmodellen wie dem Vasicek-Modell, dem Cox-Ingersoll-Ross-Modell oder dem Heath-Jarrow-Morton-Modell möglich, dass dieser Grenzwert nicht existiert, wie wir anhand von Beispielen zeigen. In diesem Fall können wir das Theorem von Dybvig, Ingersoll und Ross nicht nutzen, um das Verhalten von langfristigen Investitionsrenditen zu erklären und zu entscheiden, ob das Modell Arbitrage zulässt.

Deshalb verallgemeinern wir in dieser Doktorarbeit das Theorem auf Modelle, in denen der Grenzwert nicht existiert. Wir zeigen, dass der Limes superior der Investitionsrenditen und der Terminzinssätze niemals fällt, was wir als asymptotische Monotonie bezeichnen. Aus Sicht eines Investors ist der Limes superior die natürliche Erweiterung, da er langfristige Investitionen bevorzugt, deren Nullkuponanleihen einen hohen Ertrag liefern. Die Verallgemeinerung beweisen wir sowohl unter einer etwas schwächeren Annahme, als der Existenz eines risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes, als auch unter der Annahme, dass es keine Arbitragemöglichkeit mit verschwindendem Risiko im Grenzwert gibt. Neben dem Hauptsatz geben wir Bedingungen für asymptotische Minimalität des Limes superiors der Investitionsrenditen an. Das bedeutet, dass der Limes superior der Investitionsrenditen die größte Zufallsvariable ist, welche zu diesem Zeitpunkt bekannt ist und von dem zukünftigen Limes superior der Invesititonsrenditen dominiert wird.

Zusammenfassung (Englisch)

This thesis addresses a new approach in the modeling of credit risk and an extension of the well-known Dybvig-Ingersoll-Ross theorem in interest rate theory. In the first part we deal with the modeling of dependent credit rating transitions. For modeling these dependent credit rating transitions we want to internalize the effect of shocks on the continuous-time rating. Some events can cause a simultaneous change of the credit quality of different obligors. To model this effect we use a marked point process. This process models random event times, and a random mark specifies the possible simultaneous credit rating transitions. In most of the models, so far used for the modeling of continuous-time credit rating transitions, the dependence is introduced via the dependence of the individual intensities on the current ratings of all the obligors. In this case no simultaneous up- or downgrades are possible. In contrast to the previous work, we allow the obligors to change their credit ratings simultaneously. In more detail we study a special model within the general framework, that is a Markov jump process and all obligors with the same rating are only allowed to change to the same rating class at the same time. In our general model we use a Poisson process. Each time, at which this process jumps, we choose a random function s, which maps the rating classes to the rating classes. Then all obligors with rating 1 either remain in this class or change their rating to s(1) with a certain probability, all obligors with rating 2 remain in this class or change to s(2) and so on. More precisely, we independently throw a coin for each obligor with rating x. If the coin shows head, then the obligor changes the rating to s(x), otherwise it remains in the rating class x. In this framework clustering of defaults is possible and we can generate different shapes of loss distributions. A numerical simulation of a credit portfolio illustrates the influence of the choice of the distribution of the random function s and the probability, that the coin shows head, on the distribution of the losses in a credit portfolio. By introducing simultaneous credit rating transitions we have more degrees of freedom in the modeling and are capable of reproducing different kind of dependence structures between the rating classes of the obligors.

In the remaining of the credit rating part we calibrate our model to historical rating transitions using maximum likelihood techniques. For the general model we state the likelihood function but the computation of the maximum is not tractable in general. In case of the extended strongly coupled random walk, which is a specialization of our general model, we are able to give an analytic expression for the maximum likelihood estimator. To evaluate the accuracy of the estimators we also show consistency and asymptotic normality. Therefore with increasing number of observations the estimator converges to the true parameter.

The scaled approximation errors converge in distribution to a normal distribution, which provides confidence intervals for our estimation. The second part of the thesis is devoted to the behavior of long-term zero-coupon rates. Dybvig, Ingersoll and Ross showed that long-term zero-coupon rates could never fall in an arbitrage-free market model under the assumption that the limit of the zero-coupon rates exists.

Therefore, if the rates in a model decrease, it is not arbitrage-free.

However, even in well-known interest rate models like the Vasicek model, the Cox-Ingersoll-Ross model or the Gaussian Heath-Jarrow-Morton model, it is possible that the limit of the zero-coupon rates does not exist, as we show with examples. In this case we cannot use the Dybvig-Ingersoll-Ross theorem to explain the behavior of the long-term zero-coupon rates and decide if the model admits arbitrage opportunities. To assess also models where the limit does not exist we generalize the Dybvig-Ingersoll-Ross theorem in this thesis. We prove that the limit superior of the zero-coupon rates and the forward rates never fall, which is called asymptotic monotonicity. From the investor's point of view, the limit superior is the natural extension, because he prefers for long-term investments those zero-coupon bonds, which give a high investment return. We prove this generalization either under a slightly weaker condition than assuming the existence of a forward risk neutral probability measure, or the assumption that there is no arbitrage opportunity in the limit with vanishing risk. Besides the main theorem, we state conditions for asymptotic minimality of the limit superior of the zero-coupon rates. That means, the limit superior of the zero-coupon rates is the largest random variable, which is known at this time and dominated by the future limit superior of the long-term zero-coupon rates.