Titelaufnahme

Titel
On the development of non-commutative translation-invariant quantum gauge field models / René Ignaz Peter Sedmik
VerfasserSedmik, René Ignaz Peter
Begutachter / BegutachterinSchweda, Manfred ; Gieres, Francois
Erschienen2009
Umfangx, 208 S.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2009
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)nichtkommutative Quantenfeldtheorie / Eichtheorie / Renormierung / UV/IR Mixing / BRST Symmetrie
Schlagwörter (EN)non-commutative quantum field theory / gauge theory / renormalization / UV/IR mixing / BRST symmetry
Schlagwörter (GND)Eichtheorie / Quantenfeldtheorie / Nichtkommutative Geometrie / Translationsinvarianter Operator / Renormierung / BRST-Symmetrie
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-31806 Persistent Identifier (URN)
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On the development of non-commutative translation-invariant quantum gauge field models [2.35 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In dem Vorhaben, die grundlegenden Zusammenhänge der Natur zu verstehen, sind wir gezwungen zu den größtmöglichen Energien, und entsprechend zu den kleinstmöglichsten Distanzen - der Planck-Skala - vorzudringen. Historisch gesehen, entstanden in diesem Zusammenhang drei unabhängige theoretische Gebiete, welche sich der dabei auftretenden Probleme widmen: Stringtheorie, Quatengravitation und nichtkommutative (NC) Quantenfeldtheorie (QFT). Letztere wurde ursprünglich unter der Annahme eingeführt, dass das Auftreten von Unschärferelationen zwischen Raumzeit-Koordinaten eine natürliche Schranke für die Energie bedinge, deren Existenz wiederum bekanntlich zu wohldefinierten Integralen führt.

Obwohl diese Hoffnung nicht erfüllt wurde, konnte sich NCQFT als eigenständiges und interessantes Forschungsgebiet etablieren, welches die Entwicklung neuer mathematischer Methoden zur Folge hatte, die in weiten Bereichen Anwendung finden. Mathematisch wird die Nichtkommutativität durch die sogenannte Weyl-Quantisierung verwirklicht, welche zu einem veränderten Produkt - dem Groenewold-Moyal Produkt fürhrt. Dieses ermöglicht es, im Rahmen der bekannten QFT auf deformierten Räumen zu arbeiten.

Das grundsätzliche Problem in NC Theorien stellt die Verschiebung bestimmter Divergenzen von hohen zu niedrigen Energiebereichen dar.

Dieser Effekt, welcher allgemein als "UV/IR-Mischung" bezeichnet wird, ist eine direkte Konsequenz der Deformation des Produkts und verursacht Unsicherheiten bei der Anwendung, teilweise sogar die Unanwendbarkeit, vieler anerkannter Renormalisierungsschemata. Das vergangene Jahrzehnt brachte einige vielversprechende Ansätze zur Behebung dieses Problems, welche jedoch allesamt nicht vollkommen sind. Die resultierenden Modelle brechen die Translationsinvarianz oder führen zu unzulässigen Beschränkungen von Freiheitsgraden, weshalb die physikalische Aussagekraft stark eingeschränkt ist. Schlussendlich trugen diese Arbeiten jedoch zu einem tieferen Verständnis der Mechanismen, welche der UV/IR-Mischung zugrundeliegen, bei. Schließlich stellte sich heraus, dass der Weg zu renormierbaren, physikalischen Theorien nur über die Berücksichtigung der immanenten Verbindung von kurzen und langen Distanzen als Symmetrie in der Konstruktion entsprechender Modelle führt.

Ausgehend von diesen Entwicklungen analysiert und erweitert diese Arbeit den unlängst vorgeschlagenen Ansatz von Gurau et. al., welcher die positiven Eigenschaften der Translationsinvarianz und Renormierbarkeit in einem Modell vereint. Zunächst wird das Dämpfungsverhalten des Propagators, welches eine Schlüsselrolle in der Unterdrückung der UV/IR-Mischung, und der Verwirklichung der Symmetrie zwischen kurzen und langen Distanzen einnimmt, anhand einer einfachen skalaren Implementierung untersucht. Anschließend wird die Verallgemeinerung zu Yang-Mills Eichtheorien behandelt. Die dabei auftretenden Probleme erfordern weitreichende Modifikationen, welche anhand zweier Eichmodelle diskutiert werden. In einer Analyse zeigt sich, dass allgemeine Renormierungsbeweise unter der Berücksichtigung von Symmetrie und Nichtkommutativität nicht wohldefiniert sind und weiterer mathematischer Grundlagenarbeit bedürfen. In einem weiteren Schritt werden die gewonnenen Erkenntnisse angewendet, um ein verbessertes Eichmodell zu konstruieren, welches die bekannten grundsätzlichen Probleme umgeht.

Renormierbarkeit wird explizit auf Einschleifenniveau gezeigt. Ein allgemeingültiger Beweis kann jedoch auf Grund des Umfanges und der fehlenden Verallgemeinerung mathematischer Beweise auf das Nichtkommutative, nicht im Rahmen dieser Arbeit gebracht werden.

Zusammenfassung (Englisch)

Aiming to understand the most fundamental principles of nature one has to approach the highest possible energy scales corresponding to the smallest possible distances - the Planck scale. Historically, three different theoretical fields have been developed to treat the problems appearing in this endeavor: string theory, quantum gravity, and non-commutative (NC) quantum field theory (QFT). The latter was originally motivated by the conjecture that the introduction of uncertainty relations between space-time coordinates introduces a natural energy cutoff, which should render the resulting computations well defined and finite. Despite failing to fulfill this expectation, NC physics is a challenging field of research, which has proved to be a fruitful source for new ideas and methods. Mathematically, non-commutativity is implemented by the so called Weyl quantization, giving rise to a modified product - the Groenewold-Moyal product. It realizes an operator ordering, and allows to work within the well established framework of QFT on non-commutative spaces.

The main obstacle of NCQFT is the appearance of singularities being shifted from high to low energies. This effect, being referred to as `UV/IR mixing', is a direct consequence of the deformation of the product, and inhibits or complicates the direct application of well approved renormalization schemes. In order to remedy this problem, several approaches have been worked out during the past decade which, unfortunately, all have shortcomings such as the breaking of translation invariance or an inappropriate alternation of degrees of freedom.

Thence, the resulting theories are either being rendered `unphysical', or considered a priori to be toy models. Nonetheless, these efforts have helped to analyze the mechanisms leading to UV/IR mixing and finally led to the insight that renormalizability can only be achieved by respecting the inherent connection of long and short distances (scales) of NCQFT in the construction of models Attaching at these considerations, the present work aims to investigate and enhance a rather new ansatz, originally proposed by Gurau et. al..

This model combines all positive features of recent approaches, as it is translation invariant and renormalizable. Starting at a simple scalar implementation the core achievement, being a damping mechanism which implements the demanded symmetry of scales, and thereby restricts the occurrence of UV/IR mixing, is analyzed. In a further step the theory is generalized to gauge models of the Yang-Mills type, where new problems appear, from which the need for additional modifications arises. A detailed investigation of the obstacles hindering a fully viable proof of renormalization is presented, and possible ways to overcome the current problems are identified. In a final step the insights, which have been gained, are utilized to construct a promising new gauge model - the BRSW model. Renormalizability is demonstrated by explicit computations at the one loop level. A general proof, however, will require a substantial effort in order to establish the required mathematical methods in the non-commutative regime prior to their application - a topic which unfortunately cannot be addressed within the framework of this thesis.