Titelaufnahme

Titel
Numerische Lösung von linearen Gleichungssystemen und Anwendungen im Schulunterricht / Elisabeth Filler
VerfasserFiller, Elisabeth
Begutachter / BegutachterinSchranz-Kirlinger, Gabriela
Erschienen2008
Umfang90 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Dipl.-Arb., 2008
SpracheDeutsch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Gleichungssystem / Unterricht / Fehlerarten / Gauß / Cramer / LU-Zerlegung / Einzelschrittverfahren / Gesamtschrittverfahren / Gauß-Seidel / Jacobi
Schlagwörter (EN)system of equations / lesson / error / Gauss / Cramer / LU-decomposition / Gauss-Seidel / Jacobi
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-23652 Persistent Identifier (URN)
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Numerische Lösung von linearen Gleichungssystemen und Anwendungen im Schulunterricht [1.55 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Das erste Kapitel fasst die grundlegenden Begriffe aus der linearen Algebra wie Matrix, Rang, lineare Gleichung und lineares Gleichungssystem zusammen. Außerdem wird näher auf die Lösbarkeit der verschiedenen vorgegebenen linearen Gleichungssysteme eingegangen. Am Ende dieses Kapitels werden noch die verschiedenen Fehlerarten eines numerischen Rechenvorgangs dargestellt. Hier ist auch leicht ersichtlich, dass der Computer genauso wie der Mensch seine Grenzen hat.

Es wird aber auch gezeigt, dass man, unter Kenntnis der Fehler, diese sehr gut einschätzen kann. Das zweite Kapitel beginnt mit den Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme im Schulunterricht. Dazu wird zuerst einmal ermittelt, wann und in welcher Form lineare Gleichungen und Gleichungssysteme im Lehrplan auftreten. Dabei wird aufgezeigt, dass das Lösen von linearen Gleichungen schon sehr früh eine wichtige Rolle spielt. Anschließend werden die grundlegenden direkten Lösungsverfahren im R^2 besprochen.

Dazu zählen das Substitutionsverfahren, das Komparationsverfahren, das Eliminationsverfahren und die Cramersche Regel. Außerdem wird die Bedeutung von linearen Gleichungssystemen und deren Lösung geometrisch dargestellt. Die zweite Hälfte dieses Kapitels beschäftigt sich mit den grundlegenden Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme im R^3. Das sind das Eliminationsverfahren nach Gauß und die Cramersche Regel. Da auch hier die geometrische Interpretation recht interessant ist, wird sie im letzten Abschnitt des Kapitels angeführt. Das dritte Kapitel dieser Arbeit beschäftigt sich nun intensiver mit dem wohl bekanntesten Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen - mit dem Eliminationsverfahren nach Gauß. Hier wird auch der Einfluss der numerischen Mathematik auf diese Thematik leicht ersichtlich. Außerdem wird die LU-Zerlegung als alternative Erweiterung zum Gauß-Verfahren dargestellt.

Die Hauptaufgabe des vierten und letzten Kapitels besteht darin, zu zeigen, dass es nicht immer möglich ist, eine Lösung exakt zu berechnen, wodurch die Verwendung von iterativen Verfahren notwendig wird. Um diese Notwendigkeit besser darzustellen, werden zwei Iterationsverfahren besprochen: das Gesamtschrittverfahren nach Jacobi und das Einzelschrittverfahren nach Gauß-Seidel.

Zusammenfassung (Englisch)

The first chapter summarizes the basics of linear algebra as matrix, rank, linear equation and systems of linear equations.

Furthermore this chapter deals with the problem of different conditions for solving various systems of linear equations. At the end of chapter one different kinds of errors of numerical calculations are illustrated. Apparently not only human but also computer capacities are limited. Moreover knowledge of errors leads to an adequate estimation.

The second chapter starts with the explanation of solving methods for systems of linear equations in lesson. First of all it is necessary to find out at what time and in which form linear equations and systems of linear equations occur on the curriculum. Consequently it is recognizable, that solving linear equations plays an important role from the very beginning. Afterwards basic direct solution methods in 2-dimensional space are explained. These are the substitution method, comparison method, elimination method and the Cramer rule. Moreover the meaning of systems of linear equations and their solution are presented geometrically. The second half of this chapter discusses basic solving methods of systems of linear equations in 3-dimensional space, which are the elimination method by Gauss and the Cramer rule. The last part of the chapter is devoted to geometric interpretation in 3-dimensional space. The third chapter of my thesis deals exclusively with the best known method of solving a system of linear equations - the Gauss' elimination method. In addition the third chapter demonstrates the impact of numerical maths on this topic. Besides, the LU-decomposition is presented as an alternative amplification of the Gauss method.

The main point of the fourth and last chapter is displaying the impossibility of constantly having solutions right. This is why the application of iterative methods is crucial. Two of those just mentioned methods are discussed to illustrate their necessity: the Jacobi method and the Gauss-Seidel method.