Titelaufnahme

Titel
Reflection groups on Riemannian manifolds / Martins Bruveris
VerfasserBruveris, Martins
Begutachter / BegutachterinMichor, Peter
Erschienen2008
UmfangVI, 54 S. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ. u. Univ., Dipl.-Arb., 2008
SpracheEnglisch
DokumenttypDiplomarbeit
Schlagwörter (DE)Reflexion / Reflexionsgruppe / Riemann'sche Mannigfaltigkeit / Coxeter Gruppe / Mannigfaltigkeiten mit Ecken
Schlagwörter (EN)reflexion / reflexion group / Riemannian manifold / Coxeter group / manifold with corners
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-23314 Persistent Identifier (URN)
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Reflection groups on Riemannian manifolds [0.48 mb]
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Nachweis
Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Das Ziel dieser Diplomarbeit is es Reflexionsgruppen auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit $M$ zu studieren.

Eine Reflexion auf $M$ ist eine Isometrie, deren Tangentialabbildung in einem Punkt eine Euklidische Reflexion ist. Eine Reflexionsgruppe $G$ ist eine diskrete Untergruppe der Isometriegruppe von $M$, die von Reflexionen erzeugt wird.

Wir beweisen, dass $G$ algebraisch ein Quotient einer Coxeter Gruppe ist und umgekehrt dass jeder Quotient einer abzählbar erzeugten Coxeter Gruppe als Reflexionsgruppe auf einer geeigneten Riemann'schen Mannigfaltigkeit realisiert werden kann.

Eine spezielle Klasse von Reflexionen sind zerlegende, das heißt solche, deren Fixpunktmenge die Mannigfaltigkeit in 2 Zusammenhangskomponenten "zerlegt". Falls $G$ von zerlegenden Reflexionen erzeugt wird, können wir mehr über dessen algebraische Struktur aussagen. In diesem Fall ist $G$ eine Coxeter Gruppe. Als Beispiele dienen einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten. Auf diesen ist jede Reflexion zerlegend, also $G$ eine Coxeter Gruppe.

Ein wichtiges Konzept ist die Weyl Kammer, eine Zusammenhangskomponente der complements der vereinigten Fixpunktmenge aller Reflexionen. $G$ wirkt auf Weyl Kammern. Von besonderem Interesse ist der Fall, in dem die Wirkung auf den Kammern einfach transitiv ist. Dann ist jede Kammer ein Fundamentalbereich für die Wirkung und hat die Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Ecken. Wir können $M$ mittels $G$ und einer Kammer rekonstruieren.

Falls $G$ von zerlegenden Reflexionen erzeugt wird, wirkt $G$ einfach transitiv auf Kammern. Wir geben auch eine partielle Klassifizierung von Reflexionsgruppen, die Coxeter Gruppen sind: falls $G$ einfach transitiv auf Kammern wirkt und eine Coxeter Gruppe ist, dann wird $G$ von zerlegenden Reflexionen erzeugt.

Zusammenfassung (Englisch)

The aim of this diploma thesis is to study reflection groups on a Riemannian manifold $M$.

A reflection on a $M$ is an isometry, whose tangent map in some point is an Euclidean reflection. A reflection group $G$ is a discrete subgroup of the isometry group of $M$, that is generated by reflections.

We prove that algebraically $G$ is a quotient of a Coxeter group and conversely every quotient of a countably generated Coxeter group may be realized as a reflection group on an appropriate Riemannian manifold.

A special case of reflections are disecting ones, i.e. the fixed point set "disects" the manifold into two connected components. If $G$ is generated by disecting reflections we can tell more about its algebraic structure, then $G$ is a Coxeter group. Examples come from simply connected manifolds. On a simply connected manifold every reflection is disecting, thus $G$ a Coxeter group.

An important concept is the Weyl chamber, a connected component of the complement of the fixed point sets of all reflections. $G$ acts on Weyl chambers. Of particular interest are those $G$, which act simply transitively on chambers. Then every chamber is a fundamental domain for the action of $G$ and it has the structure of a manifold with corners.

We can reconstruct $M$ using only a chamber and the structure of $G$.

If $G$ is generated by disecting reflections, then $G$ acts simply transitively on chambers. We also give a partial characterization of reflection groups, that are Coxeter groups: if $G$ acts simply transitively on chambers and is a Coxeter group, then $G$ is generated by disecting reflections.