Ein Beitrag zur Polyedergeometrie : Krümmung und Abwicklung

Abstract

Diese Arbeit handelt von der Abwicklung von Polyedern zu Netzen.<br />Sie ist in drei Kapitel gegliedert, wovon das Erste eine kurze Einleitung und Anwendungsgebiete dieser Thematik beinhaltet.<br />Wenn man von der Abwicklung von Polyedern im oben genannten Sinn spricht, muss zunächst die Frage geklärt werden, was ein "Netz" eigentlich ist, woraus es besteht und welche Eigenschaften es hat. Dies wird am Beginn des dritten Kapitels angeführt. Naheliegend ist dabei die Forderung, dass ein Netz aus ganzen Seitenflächen des Polyeders besteht, d.h. diese nicht in zerschnittener Form vorliegen dürfen. Viel interessanter ist danach die Frage, ob es zu jedem Polyeder ein zusammenhängendes und überlappungsfreies Netz gibt. Dem gehen wir ebenfalls im dritten Kapitel nach, indem wir Polyeder aufschneiden und verebnen. Die Antwort sei jedoch gleich hier verraten, sie lautet "nein".<br />Das zweite Kapitel dient der Vorbereitung, wie ein Polyeder beschaffen sein muss, damit er ein Netz besitzt. In diesem klären wir zu Beginn, was ein Polyeder überhaupt ist, welche Strukturen erlaubt und welche verboten sind. In einem Teilabschnitt fokussieren wir insbesondere Eigenschaften konvexer Polyeder, wobei topologische und metrische Aspekte einfließen. Eine wesentliche Rolle beim Abwickeln spielt die "Krümmung" von polyedrischen Flächenpunkten und des Polyeders insgesamt, was am Ende des zweiten Kapitels zu finden ist. Dazu benötigen wir Grundkenntnisse aus der Differentialgeometrie, die wir jedoch nur streifen werden.<br />Im dritten Kapitel werden weiters noch Polyeder vorgestellt, die nicht zu Netzen im oben angegebenen engeren Sinn verebnet werden können, und andererseits solche, bei denen dies möglich ist. Dabei wird der Polyeder immer entlang einer Reihe von Kanten aufgetrennt und abgewickelt. Die durch die Schnittkanten gebildete Struktur aus Knoten und Kanten kann als Graph aufgefasst werden, weshalb auch Erläuterungen aus der Graphentheorie eingebracht werden. Bei der Abwicklung über die Kanten spielen die konvexen Polyeder eine besondere Rolle. Bei der Frage, ob all diese ausnahmslos verebnet werden können, stoßen wir am Ende des dritten Kapitels an die Grenzen der heutigen Wissenschaft in diesem Bereich.