Titelaufnahme

Titel
Convolutions and multiplier transformations of convex bodies / Franz Schuster
VerfasserSchuster, Franz E. In der Gemeinsamen Normdatei der DNB nachschlagen
Begutachter / BegutachterinLudwig, Monika ; Schneider, Rolf
Erschienen2005
Umfang67 Bl.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2005
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)Konvexer Körper / Minkowski-Addition / Äquivariante Abbildung / Drehung / Kugelfunktion / Brunn-Minkowski-Satz / Sternkörper
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-16471 Persistent Identifier (URN)
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Convolutions and multiplier transformations of convex bodies [2.89 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

In this thesis we investigate Blaschke Minkowski homomorphisms, i.e. continuous, rotation intertwining and Blaschke Minkowski mixed additive maps. One of the main results shows that these operators admit a representation via a spherical convolution operator. Moreover we give a complete classification of all even Blaschke Minkowski homomorphisms. The most widely known example of these maps is the projection body operator. The established results show that general Blaschke Minkowski homomorphisms behave in many respects similar to this prototype.

Motivated by important volume inequalities for projection bodies we study the behavior of the volume (and more general quermassintegrals) of the images of Blaschke Minkowski homomorphisms. We show that these operators behave similar to the volume functional with respect to Minkowski linear combinations and that for fundamental inequalities of the Brunn Minkowski theory there are analogous inequalities satisfied by the volume of the images of Blaschke Minkowski homomorphisms.

In recent years a theory for star bodies dual to the Brunn Minkowski Theory of convex bodies was developed. For inequalities of the classical theory of convex bodies there are analogous relations (often easier to prove) satisfied by star bodies. For many of our results there are corresponding dual counterparts.

Motivated by properties of the well known intersection body operator, the dual to the projection body operator, we define radial Blaschke Minkowski homomorphisms. We give a complete classification of these operators and show that they satisfy volume inequalities analogous to the inequalities we proved for Blaschke Minkowski homomorphisms.

Zusammenfassung (Englisch)

In dieser Dissertation werden Blaschke Minkowski Homomorphismen, das sind stetige, drehäquivariante und Blaschke Minkowski gemischt additive Abbildungen, untersucht. Eines der Hauptresultate zeigt, dass diese Operatoren eine Darstellung mit Hilfe eines sphärischen Faltungsoperators erlauben. Wir geben eine vollständige Charakterisierung gerader Blaschke Minkowski Homomorphismen an. Der bekannteste Vertreter dieser Operatoren ist die Abbildung, welche einem konvexen Körper seinen Projektionenkörper zuordnet. Die erzielten Ergebnisse zeigen, dass allgemeine Blaschke Minkowski Homomorphismen in verschiedener Hinsicht ein diesem Prototyp ähnliches Verhalten aufweisen.

Motiviert durch wichtige Volumsungleichungen für Projektionenkörper untersuchen wir das Verhalten des Volumens (und allgemeinerer Quermaßintegrale) der Bilder von Blaschke Minkowski Homomorphismen. Wir zeigen, dass diese Operatoren ein dem Volumen analoges Verhalten in Bezug auf Minkowski Linearkombinationen aufweisen und für die wesentlichen Ungleichungen der Brunn Minkowski Theorie analoge Relationen für das Volumen der Bilder von Blaschke Minkowski Homomorphismen gelten.

In den letzten Jahren wurde eine zur Brunn Minkowski Theorie duale Theorie für Sternkörper entwickelt. Für Ungleichungen der klassischen Theorie konvexer Körper gelten (oft einfacher zu beweisende) analoge Ungleichungen für Sternkörper. Für viele unserer Ergebnisse können solche dualen Resultate gezeigt werden. Motiviert durch Eigenschaften der wohlbekannten Schnittkörper, die das duale Gegenstück zu Projektionenkörpern darstellen, definieren wir radiale Blaschke Minkowski Homomorphismen.

Wir geben eine vollständige Charakterisierung dieser Abbildungen an und zeigen, dass zu den von uns bewiesenen Volumensungleichungen für Blaschke Minkowski Homomorphismen duale Relationen gelten.