Titelaufnahme

Titel
A contribution to self-excited oscillations : smooth and non-smooth bifurcation analysis in applied mechanical systems / Andreas Teufel
VerfasserTeufel, Andreas
Begutachter / BegutachterinTroger, Hans ; Springer, Helmut
Erschienen2007
Umfang117 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftWien, Techn. Univ., Diss., 2008
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Verzweigungstheorie / Selbsterregte Schwingungen / Reibungsschwingungen / Synchronisation / Nicht-glatte Systeme / Filippov-Theorie / Fortlaufende Wellen
Schlagwörter (EN)Bifurcation theory / self-excited oscillations / friction-induced oscillations / synchronization / non-smooth systems / Filippov theory / travelling waves
Schlagwörter (GND)Mechanisches System / Synchronisierung / Selbsterregte Schwingung / Verzweigung <Mathematik>
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-16296 Persistent Identifier (URN)
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A contribution to self-excited oscillations : smooth and non-smooth bifurcation analysis in applied mechanical systems [3.19 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Der Mechanismus der Selbsterregung ist von großer praktischer Relevanz in technischen schwingungsfähigen Systemen. Als Beispiele, die als übergeordnete Motivation für die vorliegende Arbeit angesehen werden können, seien die Schwingungen von Hochspannungsleitungen in einem Luftstrom oder das Quietschen von Bremsen erwähnt. In mathematisch glatten Systemen wird das Auftreten selbsterregter Schwingungen durch eine Hopf-Verzweigung beschrieben, was am Beispiel synchronisierter Lösungen in mechanischen Systemen gezeigt wird. In zufolge von Reibungseffekten nicht-glatten Systemen liefern neue theoretische Resultate aus dem Bereich der nicht-glatten Verzweigungstheorie wertvolle Impulse zur Beschreibung selbsterregter Reibungsschwingungen. Synchronisation ist ein Phänomen, das in den unterschiedlichsten Wissenschaftsdisziplinen beobachtbar ist, sobald schwingungsfähige Systeme miteinander interagieren, wobei die Oszillatoren im Verbund eine (gegebenenfalls phasenverschobene) Schwingung mit einer gemeinsamen (synchronen) Frequenz ausführen, die von den Eigenfrequenzen der isolierten Einzelsysteme abweicht. Zwei aerodynamisch erregte Pendel werden als einfaches mechanisches Beispiel für zwei linear gekoppelte, selbsterregte Schwinger betrachtet und durch gekoppelte Van-der-Pol Gleichungen modelliert. Das einfache mechanische Modell erlaubt eine systematische Untersuchung von synchronisierten Bewegungen im Rahmen bekannter Konzepte der nichtlinearen Stabilitätsanalyse. Mit Hilfe der Theorie der Normalformen und der Mittelungsmethode wird die auftretende Hopf-Verzweigung mit zwei Paaren konjugiert imaginärer Eigenwerte im nicht-resonanten und im resonanten Fall untersucht, was mechanisch einer starken bzw. schwachen Koppelung entspricht. Insbesondere ermöglicht im resonanten Fall ein graphischer Zugang eine anschauliche Interpretation der stationären Lösungen des gemittelten Systems als stabile bzw.

instabile synchronisierte Bewegungen. Die Schwingungsamplituden und die Synchronfrequenz können analytisch angegeben werden.

Im zweiten Themenkomplex dieser Arbeit soll die noch im Entwicklungsstadium begriffene Verzweigungstheorie nicht-glatter Systeme auf konkrete mechanische Beispiele angewandt werden. Ein einfacher Einmassenschwinger auf einem rauhen laufenden Band soll als einführendes Beispiel zur Erklärung nicht-glatter Verzweigungsphänomene dienen. Ein derartiger Reibungsschwinger ist vom Typus der ebenen Filippov-Systeme, für welche alle Kodimension-1-Verzweigungen nach Kuznetsov klassifiziert sind. Für eine allgemeine nichtlineare Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der Relativgeschwindigket kann bereits für den einfachen Reibungsschwinger die Existenz nahezu aller wichtiger nicht-glatter Verzweigungen numerisch nachgewiesen werden, die in mechanischen Systemen mit einem Freiheitsgrad von Relevanz sein können.

Mit einer numerischen Fortsetzungsmethode werden die Orte der Verzweigungen im Parameterraum verfolgt, wobei geometrische Kenngrößen der Reibungskennlinie sowie die Bandgeschwindigkeit als Parameter dienen. Speziell ist hier neben den typischen stick-slip-Schwingungen auch das Auftreten von überschwingenden Lösungen zu beobachten, d. h.

die Masse bewegt sich in der Bandlaufrichtung kurzzeitig schneller als das Band.

Motiviert durch das Auftreten von Quietschgeräuschen beim Bremsvorgang von Zügen wird in der Folge ein bremsenähnliches kontinuierliches Modell betrachtet, bestehend aus einer auf eine starre Welle aufgeschrumpften elastischen Nabe, wobei die Welle in der Nabe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert. Mittels eines Galerkin-Ansatzes werden fortlaufende nicht-glatte elastische Welle an der Grenzfläche zwischen der festen Welle und der Nabe untersucht. Das Auftreten unterschiedlicher Kontaktzonen wie Haften, Gleiten oder Ablösen sind anschauliche Beispiele für Verzweigungen des nicht-glatten Systems, die es gilt numerisch nachzuweisen. Zum Auffinden der Verzweigungskurven im Parameterraum dienen vorrangig der statische Reibungskoeffizient, die Winkelgeschwindigkeit der Welle und das Verhältnis der Radien als Fortsetzungsparameter, während wiederum ein nichtlineares Gesetz für die Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der lokalen Relativgeschwindigkeit am Wellen-Naben-Kontakt angenommen wird. Man beobachtet ein reiches Verzweigungsverhalten vom Auftreten von stick-slip-Wellen, über die Ausbildung von überschwingenden Bereichen (d. h. lokal übersteigt die Tangentialgeschwindigkeit der Nabe die Umfangsgeschwindigkeit der Welle) bis hin zur Entstehung von mehreren Separationszonen. Die erhaltenen Resultate rechtfertigen den Einsatz der nicht-glatten Verzweigungstheorie zum Auffinden der Parameterbereiche qualitativ unterschiedlicher Lösungstypen, die bei einer konventionellen Analyse durch eine Glättung der Unstetigkeiten nicht unterscheidbar wären.

Zusammenfassung (Englisch)

The mechanism of self-excitation is of great practical relevance in oscillating technical systems. Oscillating power transmission lines in a wind flow or the squealing noises of brakes serve as examples which may be regarded as a superior motivation for the present thesis. In mathematically smooth systems the onset of self-excited oscillations is described by a Hopf-bifurcation, which will exemplarily be demonstrated for synchronized solutions of a mechanical system. In systems which are non-smooth due to friction effects new theoretical results from non-smooth bifurcation analysis will prove useful for the description of self-excited friction oscillators. Synchronization is a phenomenon which can be found in many branches of natural sciences, engineering and social life as soon as oscillating systems are interacting. The coupled system may oscillate with a common (synchronous) frequency which is different from the eigenfrequencies of the isolated oscillators. Two aerodynamically excited pendula are considered as a simple example of two linearly coupled, self sustained mechanical oscillators, modeled by two coupled Van-der-Pol equations.

The considered mechanical application admits of a systematic survey of synchronized regimes within the framework of standard nonlinear stability analysis. Using normal form theory and the prevailing direct averaging approach the occurring Hopf-bifurcation with two distinct pairs of purely imaginary eigenvalues is studied in the non-resonant case and in the 1:1-resonance corresponding, respectively, to strong and weak coupling. In particular, for the resonant case a graphical approach permits a comprehensive interpretation relating the stable stationary solutions of the averaged system with synchronized regimes and allows of an analytical computation of the oscillation amplitudes and the synchronous frequency. The second topic of this thesis is devoted to the application of non-smooth bifurcation theory to concrete mechanical problems. A simple oscillator consisting of a spring-mass system on a driven belt serves as an example to explain the effect of non-smooth bifurcations. Friction oscillators of this kind belong to planar Filippov-Systems, for which all possible codimension-1 bifurcations have been classified by Kuznetsov. If a general non-linear dependence of the friction coefficient on the relative velocity is assumed, even this simple friction oscillator reveals all major types of non-smooth bifurcations that are expected to appear in general in mechanical systems with one degree-of-freedom. By means of a numerical continuation method these bifurcations are continued in a parameter space, where the geometric quantities of the friction characteristic as well as the band speed serve as continuation parameters. Besides the pertinent stick-slip oscillations we also concentrate on finding "overshooting"-solutions where the mass moves in the same direction as the belt but is temporarily faster.

Originating from the problem of squealing noises in breaking trains we consider in the following a brake-like continuous model which consists of a rotating rigid shaft fitted into an elastic bush with a diameter mismatch. By means of a Galerkin reduction the evolution of non-smooth elastic travelling waves on the shaft-bush interface is investigated.

The appearance of different contact regimes, such as sticking, slipping or separating provides a vivid example of non-smooth bifurcations in the considered system, which are calculated numerically. In order to detect the bifurcation curves in the parameter space we predominantly use the static coefficient of friction, the rotation velocity of the shaft and the radial ratio of the bush as continuation parameters. Again, a non-linear friction law depending on the local relative velocity is assumed to hold at the shaft-bush interface. A rich bifurcation scenario is found, yielding pure slip, stick-slip, stick-slip-separation and slip-separation waves. In slip regimes we additionally encounter the emergence of overshooting motions where the tangential velocity of the bush locally exceeds the velocity of the shaft. The obtained results justify the application of non-smooth bifurcation theory in order to find parameter domains of qualitatively different types of solutions which would have been undetected if a conventional strategy was pursued where the discontinuities are avoided using smoothing functions.