Titelaufnahme

Titel
Consistency of option prices under bid-ask spreads and implied volatility slope asymptotics / von Dipl.-Ing. Ismail Cetin Gülüm
VerfasserGülüm, Ismail Cetin
Begutachter / BegutachterinGerhold, Stefan
ErschienenWien, 2016
Umfangx, 100 Seiten : Diagramme
HochschulschriftTechnische Universität Wien, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)No Arbitrage / Strassen Theorem / Konvexe Ordnung / Peacock / Unendlich-Wasserstein-Distanz / Stop-Loss-Distanz / Lévy-Distanz / Prokhorov-Distanz / Transaktion-Kosten / Options Preise / Modellunabhängige Arbitrage / Digitale Call-Optionen / Mellin-Transformation / Implizite Volatilität / Lévy Prozesse / Small-Time Asymptotik / Diffusionen mit Jump Boundary / Portfolio Optimierung
Schlagwörter (EN)No Arbitrage / Strassen's Theorem / Convex Order / Peacock / Infinity Wasserstein distance / Stop-Loss Distance / Lévy distance / Prokhorov distance / Transaction Costs / Option Prices / Model independent Arbitrage / Digital Call Options / Mellin Transform / Implied Volatility / Lévy processes / Small Time Asymptotics / Diffusion with Jump Boundary / Portfolio Optimisation
URNurn:nbn:at:at-ubtuw:1-477 Persistent Identifier (URN)
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Consistency of option prices under bid-ask spreads and implied volatility slope asymptotics [2.08 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Im ersten Teil leiten wir zunächst eine Verallgemeinerung des Strassen Theorems her. Dieses Theorem besagt, dass es zu jedem stochastischen Prozess, dessen Randverteilungen in konvexer Ordnung wachsen, ein Martingal mit denselben Randverteilungen gibt. Solche Prozesse bzw. Folgen von Verteilungen werden in der Literatur üblicherweise als Peacock bezeichnet. Wir wollen dieses Resultat erweitern: anstatt Martingalen mit fest vorgegebenen Randverteilungen zu betrachten, wollen wir wissen, unter welchen Bedingungen es Martingale gibt, deren Randverteilungen eine vorgegebene Distanz zu gegebenen Verteilungen nicht überschreiten. Entfernungen werden mit Metriken auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße mit endlichem Erwartungswert gemessen. In unserem Hauptresultat ist die Metrik die Unendlich-Wasserstein-Distanz. Wir werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Peacocks in vorgegebener Unendlich-Wasserstein-Distanz formulieren und beweisen. Wir betrachten dabei zunächst abzählbare und danach überabzählbare Indexmengen. Anschließend befassen wir uns noch mit dem gleichen Problem für die Stop-Loss-Distanz, die Lévy-Distanz und die Prokhorov-Distanz. Die Resultate bezüglich der Unendlich-Wasserstein-Distanz haben eine finanzmathematische Anwendung. Angenommen, wir können die Kauf- und Verkaufspreise europäischer Call-Optionen auf ein Underlying beobachten. Diese Call-Optionen unterscheiden sich nur hinsichtlich des Ausübungspreises und des Ausübungszeitpunktes. Wir versuchen folgende Frage zu beantworten: Unter welchen Voraussetzungen gibt es ein mathematisches, arbitragefreies Modell eines Finanzmarktes, welches diese Preise erzeugt? Anders als in der bisherigen Literatur, wollen wir dabei auch Modelle berücksichtigen, in denen der zukünftige Bid-Ask-Spread auf das Underlying positive Werte annehmen kann. Wir werden beweisen, dass es ausreicht, Konsistenzbedinguen für jeden Ausübungszeitpunkt einzeln anzugeben, wenn dieser Bid-Ask-Spread unbeschrünkt ist. Im Weiteren fokussieren wir uns daher auf Modelle, in denen der Bid-Ask Spread durch eine vorgegebene Konstante beschränkt ist. Wir werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz geeigneter Modelle formulieren und beweisen. Außerdem geben wir Arbitragestrategien an, für den Fall, dass die notwendigen Bedingungen nicht erfüllt sind. Wir unterscheiden dabei zwischen modellunabhängigen Arbitragestrategien und sogenannten schwachen Arbitragestrategien, die nur von den Nullmengen des ausgewählten Modells abhängen. Wir geben eine vollständige Lösung für einzelne Laufzeiten an und einige Teillösungen für mehrere Laufzeiten. Im zweiten Teil dieser Dissertation untersuchen wir die erste Ableitung nach dem Strike der impliziten Volatilität in exponentiellen Lévy Modellen. Genauer interessieren wir uns für die Asymptotik der at-the-money Steigung der impliziten Volatilität für kurze Laufzeiten. Zunächst stellen wir einen Zusammenhang zwischen dieser Asymptotik und dem Preis einer zugehörigen Digitaloption her. Im Hauptresultat betrachten wir dann Modelle mit unendlicher Aktivität, die auch eine Brown'sche Komponente haben. Als technisches Hilfsmittel verwenden wir die Mellin-Transformation und leiten damit eine asymptotische Reihenentwicklung für die gesuchte Steigung her. Als Nebenprodukt bekommen wir außerdem eine asymptotische Reihenentwicklung für den at-the-money Preis von Digitaloptionen mit kurzer Laufzeit. Letztendlich besprechen wir noch den Zusammenhang der hergeleiteten Asymptotik mit der gesamten Form der impliziten Volatilität mit Hilfe von Lees Momenten Formel. Wir zeigen anhand einiger Modelle, dass die at-the-money Steigung der impliziten Volatilität im Zusammenhang mit den Enden selbiger steht. Letztendlich beschäftigen wir uns noch mit einem Thema aus dem Gebiet der Portfolio-Optimierung. Wir analysieren dabei Strategien, bei denen der Investor das Portfolio nur dann umschichtet, wenn der Unterschied zwischen dem aktuellen Anteil des riskanten Assets - gemessen am Gesamtvermögen - und des Merton-Anteils zu groß wird. Wir beschränken uns dabei auf das Black-Scholes-Modell ohne Transaktionskosten und leiten eine asymptotische Darstellung der Wachstumsrate her.

Zusammenfassung (Englisch)

The first part of this thesis deals with a generalisation of Strassen's theorem and its applications to check option prices for consistency in markets with positive bid-ask spreads. Strassen's theorem asserts that a stochastic process is increasing in convex order if and only if there is a martingale with the same marginal distributions. Such processes, or families of measures, are nowadays known as peacocks. We extend this classical result in a novel direction, relaxing the requirement on the martingale. Instead of equal marginal laws, we just require them to be within closed balls, defined by some metric on the space of probability measures. In our main result, the metric is the infinity Wasserstein distance. Existence of a peacock within a prescribed distance is reduced to a countable collection of rather explicit conditions. We also solve this problem when the underlying metric is the stop-loss distance, the Lévy distance and the Prokhorov distance. The result for the infinity Wasserstein distance has a financial application, as it allows to check European call option quotes for consistency. To be more precise, given a set of European call option prices with different maturities and strikes on one underlying, we want to know when there is a model which is consistent with these prices. In contrast to previous studies, we allow models where the underlying trades at a bid-ask spread. The main question then is how large (in terms of a deterministic bound) this spread must be to explain the given prices. We fully solve this problem in the case of a single maturity, and give several partial results for multiple maturities. We will prove that in case the bid-ask spread is not bounded there is no interplay between the current price of the underlying and and the option prices. Therefore we focus on models where the bid-ask spread is bounded by a predefined constant. We fully solve this problem in the case of a single maturity, and give several partial results for multiple maturities. The theoretical results of this part of the thesis are already submitted (\cite